3o* RÉDUCTION DES INTÉGRALES DE DIFFÉRENTIELLES TRINOMES : APPLICATION
à-dire si 222 + il atteint au moins m), fx m+n U p dx par son expres
sion analogue en fonction de fx m \J p dx et f x m ~ n U p dx. L’intégrale
fx m U p+l dx se trouvera donc ramenée à fx m \] p dx et à fx m±n \J p dx,
où l’exposant m± n sera compris dans l’intervalle in assigné.
Si l’on veut, au contraire, augmenter algébi’iquement d’une unité
l’exposant de U, cette formule, où l’intégrale fx m U p+1 dx seule sera
censée alors connue, ne suffira pas pour donner à la fois f x m U p dx et
fx m±n \j p dx\ car elle ne constituera qu’une équation du premier
degré entre ces deux quantités inconnues. Mais on pourra y changer
m en m± 72; ce qui donnera une équation linéaire entre l’intégrale,
censée connue, fx m±n U /,+1 dx, et les deux intégrales inconnues
f x m±n \J p dx et f x m±i " \] p dx, dont la seconde pourra être elle-
même remplacée par sa valeur en fonction des deux intégrales
demandées f x m \J p dx et fx m±n TJ p dx. Il viendra donc, de la sorte,
une seconde équation du premier degré entre ces deux intégrales et
les deux, auxquelles on veut les réduire,
fx m U p+1 dx et fx m - n \Jp +1 dx:
de sorte que la résolution du couple obtenu d’équations du premier
degré à deux inconnues permettra d’accroître algébriquement de 1
l’exposant de la parenthèse.
Par conséquent, si p est négatif et d’une valeur absolue supérieure
à 1, on le réduira, par des additions successives d’unités, à tomber
finalement entre les limites —\ et |, tout comme on l’aurait fait, par
la formule (33), s’il s’était trouvé positif.
253*. — Application à certaines intégrales, dépendant des intégrales
elliptiques de première et de seconde espèce.
Pour donner un exemple de ce genre de réduction, soient les deux
intégrales
où U désigne le trinôme bicarré
(35) U = (a 2 + x 2 )( P 2 + x 2 ) = a 2 ¡3 2 + (a 2 + (B 2 )# 2 + x k
et que nous écrirons, de préférence,
(36) I=/(P 2 + tf2)U *dx, J=/(a2 + ¿P 2)u \dx.
Les intégrales proposées I, J, dans lesquelles il est permis de sup
