AUX INTÉGRALES DÉPENDANT DES FONCTIONS E ET F DE LEGENDRE.
poser a 2 >* p 2 , se ramènent donc immédiatement à deux, f U 2 dx
_ 3
et fx*U 2 dx, où les exposants de x hors de la parenthèse U, savoir
zéro pour la première et 2 pour la seconde, restent compris entre les
deux limites o et 2«, n étant ici, visiblement, 2 ; en sorte qu’il n’y a
pas lieu de réduire ces exposants. Mais on peut vouloir y simplifier
l’exposant p, égal à —|, en le réduisant à —\ par l’addition d’une
unité, et ramener ainsi ces intégrales, comme toutes celles qui se
composeraient d’autres de la forme Jx^JJp dx avec p multiple de
/ dx cioo • •
——. i I —— • Toutefois, on trouve avantage à introduire,
v/u J ï
aux deux
v/U
au lieu de cette dernière
/
x 2 dx
vr :
l’intégrale
J P“'
x 2 dx
v/ü
- ou
y(a 2 -+- x % y\] 2 dx, qui admet, comme on verra bientôt, une signi
fication géométrique importante : elle est évidemment décomposable
en intégrales de la classe considérée et peut ainsi tenir lieu de l’une
d’elles comme terme de comparaison ou moyen d’expression. Nous
appellerons ~ et — (avec Legendre) les deux intégrales types ainsi
adoptées, c’est-à-dire que nous poserons
/’et 2 -f-x 2 dx _ oîE rdx _ F
■ 7 J P 2 + 372 y/ü “ P 2 ’ J /ü ” a *
En dédoublant, dans la première, le numérateur a 2 + ¿c 2 en a 2 — p 2
F
et ^ 2 -\-x 2 , on la dédouble elle-même en (a 2 — p 2 )J et en — ; ce qui
fait déjà connaître J et donne (à une constante arbitraire près)
(38)
a 2 E — P 2 F
a[3 2 (« 2 — p 2 )'
Il suffît donc de trouver une relation où entrent I, J, F ; et, comme
la méthode générale de réduction consiste en des combinaisons de
l’identité(33) avec la formule (3i), nous aurons nécessairement à faire
une application convenable de celle-ci. En conséquence, prenons-y
p = — |, m — 4 (outre n — 2, h —a 2 h- p 2 , c~ i), pour que l’inté
grale fx m — 2n U p+1 dx, à laquelle cette formule doit ramener les pro-
-i
posées, soit bien celle que l’on a en vue, savoir /U 2 of.r.II vient, abs
traction faite de la constante arbitraire,
