3a* INTÉGRALES ELLIPTIQUES E ET F DE LEGENDRE; 
Or il y a lieu d’éliminer le dernier terme, où figure, sous Je signe/, 
un numérateur x’* qui n’entre dans aucune des Jntegiales en les 
quelles se dédoublent visiblement les proposées I, J définies par (36). 
A cet effet, il suffit de remplacer, dans le dernier terme en question 
de (89), le facteur x'* par la différence identiquement équivalente 
U _ ( a 2p2_(_ a-x* + p 2 x-) ; et des réductions immédiates, avec trans- 
r dx 
position, dans le premier membre, d un terme — 2J — — 
au second, donnent 
ainsi obtenu 
v/U 
r* ri nr — — 
= a*pa-+-a*ar»-H P*a? s ) U *dx, 
relation où le deuxième membre n’est autre chose, d'après (36), que 
a 2 1 -t- p 2 J. Il vient donc, pour l’équation cherchée, en rétablissant la 
constante arbitraire dont on faisait abstraction, 
(4o) a 2 I p 2 J 
v/u 
/ dx 
const. 
l/U 
F 
1- const. 
a 
Transportons-y la valeur (38) de J, et celle de I sera enfin, du 
moins quant à sa partie variable, 
TT TT 
(40 I 
«v U ' O* 2 —P 2 ) 
Les expressions, définies par (3y), de E et de F, se simplifient en 
introduisant comme variable l’arc cp qui a pour tangente le rapport de 
x à p. Posons, en effet, 
(40 
x — p tang cp; d’où 
dx 
üdo 
P 2 -I- x" 1 = 
P2 
cos 2 cp 
oc 2 -f- x- 
8 2 
B 2 
sin 2 cp 
COS 2 cp COS 2 CD 
et regardons oc, p comme le demi grand axe et le demi petit axe d’une 
ellipse, dont y — serait par suite l’excentricité, que j’appellerai k, 
rapport de la distance focale 2 \Ja 2 — p 2 au grand axe 2 oc. Le radical 
V/U s’écrira -O- \ji — k 2 sin 2 cp et les formules ( 87 ) deviendront sim 
plement 
(43) E = Çy/1 —— A 2 sin 2 cp c?cp, F = f ——'/ • 
J '* J \J 1 — k 2 sin 2 cp 
On convient de déterminer la constante arbitraire, dans ces inté-