FORME CANONIQUE DE CES INTÉGRALES. 
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grales E, F, de manière à les faire annuler en même temps que leur 
variable ©. 
Nous verrons plus loin que l’une d’elles, E, est propre à exprimer 
la longueur des arcs d’ellipse. Aussi Legendre l’a-t-il appelée inté 
grale elliptique; et il a étendu ce nom à l’autre, F, à cause de son 
analogie d’expression avec E. Pour les distinguer, il a qualifié d’inté 
grale elliptique de première espèce celle qui est, comme on le recon 
naîtra bientôt, la plus simple, savoir F, et d'intégrale elliptique de 
seconde espèce., l’autre, E : il est clair qu’elles dépendent de la va 
riable cp, appelée amplitude, et du paramètre k (compris entre zéro 
et i ), dit module. Pour pouvoir intégrer toutes les différentielles al 
gébriques affectées d’un radical carré portant sur un polynôme du 
quatrième degré, Legendre a eu à considérer en outre un troisième 
type d’intégrales, appelées aussi elliptiques, mais plus complexes que 
les deux précédentes, car il y entre deuxparamètres distincts ( *). Je ne 
pense pas devoir en parler, parce que ces intégrales ne se présentent 
guère dans les applications et que, d’ailleurs, on n’en a pas de Tables 
permettant de les utiliser avec toute la facilité désirable, comme il 
en existe pour les intégrales E, F. C’est Legendre lui-même qui a cal 
culé celles-ci, dites Tables elliptiques, par des procédés dont il sera 
prochainement donné un aperçu. 
Les deux intégrales E, F prennent une forme, à différentielle algé 
brique, très usuelle et très simple (forme appelée canonique pour ces 
deux raisons), quand on y adopte comme variable le sinus même de 
l’angle cp. Pour l’obtenir, posons donc, dans (43), 
, du 
sm cp — u ou cp = arc sm u, do — — • 
y 1 — 
(>) Les géomètres ont été ainsi amenés à appeler, en général, intégrale ellip 
tique, toute intégrale réductible à ces trois types, c’est-à-dire de la forme 
jf(x,y)dx, où/désigne une fonction rationnelle quelconque de deux variables 
et y un radical carré portant sur un polynôme en x du quatrième degré. Quelques- 
uns d’entre eux ont ensuite considéré, sous le nom à'intégrales ultra-elliptiques 
(ou hyper-elliptiques), les expressions de la même forme f/{x,y)dx, où y est 
encore un radical carré, mais portant sur un polynôme d’un degré supérieur au 
quatrième. Enfin, une dernière généralisation, bien plus étendue, a conduit ces 
géomètres au cas où y serait l’ordonnée d’une courbe algébrique quelconque ayant 
x pour abscisse: alors l’intégrale ff{x,y)dx est dite abélienne, du nom 
d’Abel, profond analyste norvégien (mort en 1829 à l’âge de 27 ans), qui en a 
commencé l’étude et y a découvert un théorème remarquable dont la formule 
d’Euler ci-après (p. 4 2 *), sur le sinus elliptique d’une somme, n’est qu’une appli 
cation particulière. 
B. — II. Partie complémentaire. 
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