34* INTÉGRALES RÉDUCTIBLES AUX FONCTIONS E ET F DE LEGENDRE. 
Il viendra 
V 1 — A 2 uï f j u f‘ C 1 — /e 2 u 2 ) du > 
= fl'^ k,u idu.= 
J A — m 2 J A*- 
y/i— ii 2 
(44) ) /• «O. 
J Ai — /c2w ' 2) 
On voit que la différence F — E est le produit de /c 2 par 
fw 
d du 
ii 2 ) (i — A 2 u?) 
Donc, comme nous savons (pp. 28*, 2g*, 3o*) qu’on ramène à cette 
dernière et à l’intégrale F toutes celles'qui sont de la forme 
(45) /m 2 "*[(i— m 2 )(i — k*u*)]Pdu, 
avec m entier, positif ou négatif, et p multiple positif ou négatif 
de |, il est clair qu’on pourra évaluer cette classe étendue d’inté 
grales au moyen des Tables elliptiques de Legendre. 
On est passé, en résumé, de la forme (87), où la quantité Lf sous le 
radical est (a 2 + ) (¡3 2 H- .-r 2 ) avec cc 2 >[3 2 , à la forme (44), où la 
quantité analogue est (1 — id) (1 — k- id) avec A 2 < 1, en posant 
x — p tang cp = 
¡4 sin cp 
\JI — sin 2 cp 
P U 
\J 1 — U 1 
ou \J! —• id A? 2 -+- P 2 = 
Le radical serait évidemment devenu, 
A1 — m 2 ) ( 1 + A' 2 id ), avec k’- f égal à - 
au contraire, de la forme 
2 32 \ 
variable de zéro à l’in- 
3-2 
fini, si l’on avait pris x — a tangcp ou \J 1 — id \Jx 2 H- a 2 = a. 
On obtient encore ces formes, avec d’autres, toutes bicarrées, qui 
se présentent parfois, du trinôme sous le radical, en adoptant une nou 
velle variable v en raison soit directe, soit inverse, de l’un des facteurs 
(\fd-+-x i , y/p 2 + Æc 2 dans notre exemple) du radical que contient la 
différentielle proposée. Tel est le principe simple de transformation 
qui, appliqué une ou plusieurs fois, permettra, le cas échéant, de 
réduire à la forme canonique (45) un certain nombre de différen 
tielles polynômes à radical carré, et de les rendre, par là, intégrables 
au moyen des deux fonctions E, F de Legendre.