\ dx 
c y i jy ’ dès * ors de la forme voulue (79), 
ET D’AVEC L’ABSENCE DES DEUX: PROPRIÉTÉS DE MINIMUM DE l’onde SOL. 573* 
enfin une même aire totale donnée f ydx —2k!, celle qui rend 
minimum l’intégrale 
(79) f {y'- — cy z ) — , 
d—x J 
où c désigne une constante que l’on peut encore supposer positive. En 
effet, si elle ne l’était pas, on changerait le sens des y positifs; ce qui 
reviendrait à remplacer l’aire / ydx —2 A' par —2 A'et l’inté- 
grale (79) par — f 
KJ Q 
au signe près, vu que c s’y trouverait négatif. 
Prenons, pour nouvelle variable d’intégration, l’aire 5— / ydx, 
qui variera sans cesse dans un même sens, de zéro à 2 A', quand x 
grandira de —00 à H- 00, et qui sera, par conséquent, bien propre à 
remplacer x. Comme on aura, à cause de la valeur ydx de de, 
d.r de dy , dy 
— — — et — ou y — y , 1 intégrale (79) deviendra, pour toutes 
les courbes proposées à ordonnées de sens uniforme et à même aire 
totale 2 A', 
(8°) jf 
Or, si, pour chaque valeur de e, y croît de Ay, le carré py’ de- 
, /dy d±y\z , dy d\y /u?Ay\ 2 T . . 
venant ——h —f- , grandit de 2 -y 7 -—p ( —7— • La variation 
de 1 de J 
finie de (80) sera donc 
de de 
\ de 
(81) 
f d ^y f c(\y)de-+- f 
0-—0 U ~‘ do do 
№)'*■ 
Intégrons le premier terme par parties, en observant que le produit 
dy 
de 
s’évanouit le coefficient angulaire y 1 de la tangente ; et nous aurons 
enfin 
2 '-j- \y, ou 2y' — ; tend vers zéro aux deux limites x — dz 00 où