DES DEUX : SOMME RENDUE MIN. PAR LES TEMPÉR. STATIONN. D'üN CORPS. 5"5* 
mais non encore dégagé complètement, et dont nous avons eu plu 
sieurs fois déjà l’occasion de parler (p. 564* et t. I, p. 170). 
Pour nous borner en ce moment au cas d’un corps homogène et 
isotrope dont nous appellerons ns le volume et cr la surface, la somme 
cpii s’y trouve rendue minimum par la fonction <p de x, y, z expri 
mant ses températures permanentes, est celle-ci : 
Nous admettons, d’une part, que ces températures satisfassent, dans 
tout le volume ns, a l’équation aux dérivées partielles 
(84) 
d- o d- o d 2 o 
dx' 1 ' dy 2 ' dz % 
d autre part, qu’elles vérifient en outre, sur chaque élément dn de la 
surface, dont dn désignera la normale tirée à partir de l’intérieur 
(comme si l’on voulait la prolonger au dehors) et alors définie en 
direction par les trois cosinus de ses angles a, p, y avec les axes, la 
condition spéciale 
(85) **(?-?.) = 
do do 
dn dx 
do 
cos a -1—cos 
d y 
g 
do 
~dz 
cosy, 
k, cp 0 étant, comme cosa, cosp, cosy, des constantes finies réelles pour 
chaque élément dn ou des fonctions données de x, y, z aux divers 
points de la surface. Ces relations sont bien, en effet, les plus géné 
rales du problème des températures stationnaires dans un solide iso 
trope homogène (p. 384*) : la seconde, (85), se simplifie d’ordinaire 
soit par l’hypothèse k % = cc (entraînant cp = cp 0 ), quand on donne 
directement la température o = o 0 de l’élément dn, soit par l’hypo- 
thèse contraire de A' 2 infiniment petit id’oü — A: 2 cp 0 — une fonc 
tion connue de x, y, z^j, dans le cas limite opposé où l’on se donne 
le (lux de chaleur à travers dn. 
Pour reconnaître que la solution des équations (84), (85) rend 
bien l’expression (83) minimum, attribuons, dans celle-ci, à la valeur 
(supposée quelconque) de cp en chaque point (x, y, z), un accrois- 
„ . . , , . c/cp 2 , / do cZAo\ 2 
sement fini arbitraire Acp. L expression yyy> devenue ( yy H—-yÿ j ? 
aura varié de 2^ ou, identiquement (en transfor 
mant le premier terme afin d’en éliminer par l’intégration la dérivée