RENDUE MINIMUM PAR LES TEMPÉRATURES STATIONNAIRES D'UN CORPS. 5--* 
500*. — Utilisation de cette propriété de minimum pour démontrer l’exis 
tence d’une solution générale du problème des températures station 
naires; autres problèmes, dans lesquels la même méthode atteint un 
résultat analogue et a, parfois aussi, facilité la mise en équation. 
Ayant démontré ainsi l’identité d’un système donné de relations, 
•savoir (84) et (85), aux premières des conditions que vérifie dans les 
hypothèses ordinaires de continuité le maximum ou le minimum 
d'une certaine expression, laquelle est ici (83), ou ayant, par suite, 
ramené au moins en partie, l’un à l’autre, les deux problèmes qui 
consistent soit à résoudre ces relations (84) et (85), soit à rendre 
maxima ou minima l’expression (83) dont il s’agit, nous pourrons 
essayer de nous servir de la considération d’un tel maximum ou mi 
nimum pour démontrer l’existence d’une solution générale du sys 
tème d’équations (84) et (85). En effet, nous avons reconnu, sur la 
presque totalité des questions de maximum ou de minimum abordées 
dans ce Cours, que, si le calcul des maxima ou minima est ordinaire 
ment difficile et laborieux, du moins leur existence s’offre souvent 
comme évidente ou presque évidente. Il pourrait donc y avoir, à 
transformer le problème de la résolution ou de l’intégration d’un 
système d’équations en une question de maximum ou de minimum, 
l’avantage de rendre certaine la possibilité d’une solution d’un pareil 
système. C’est justement ce qui est arrivé (t. I, p. i5o*) dans la 
démonstration du théorème fondamental de l’Algèbre : il nous a été 
plus facile de former une fonction chez laquelle la nécessité d’un 
minimum se reconnaissait aisément et dont les minima correspon 
daient à des diviseurs du second degré, réels et irréductibles, du pre 
mier membre d’une équation algébrique donnée, que de constater di- 
jectement l’existence de ces diviseurs. 
Voyons s’il en sera de même ici. Pour démontrer la compatibilité 
du système (84) et (85), c’est-à-dire l’existence d’une fonction o qui 
y satisfasse, nous devrons examiner si la somme (83), où © désigne 
toute fonction de cc, y, z continue à l’intérieur et à la surface de 
l’espace üt, admet un minimum régi par le principe de Fermât ou de 
Kepler. 
Or, d’une part, cette somme, à éléments essentiellement positifs, 
ne peut pas, quelle que soit la fonction ©, descendre au-dessous d’une 
certaine limite. D’autre part, il suffit d’y donner à © de très fortes 
valeurs négatives ou positives, distribuées comme on voudra soit 
partout (y compris la surface cr), soit seulement à l’intérieur, pour 
rendre extrêmement grandes en valeur absolue, dans des régions f da