578* EMPLOI DU CALCUL DES VARIATIONS, EN PHYSIQUE MATHÉMATIQUE,
ou /dm finies, soit les diiTérences 9 — o 0 à la surface, soit les déri-
vées _j à l’intérieur, et, par conséquent, clans les deux cas, la
d{x,y, z)
somme (83). Il y a donc, en quelque sorte, un état de grandeur
infranchissable au-dessous duquel ne s’abaisse pas cette somme
quand 9 se déforme de manière à la faire décroître, et qui, se pro
duisant sans que 9 devienne considérable ni à l’intérieur, ni à la sur
face de l’esjiace ht, constitue un vrai minimum, c’est-à-dire une valeur
parfaitement susceptible d’être atteinte, entourée de toutes parts de
valeurs plus grandes. Seulement, la fonction 9 qui réalise ce minimum
jouit-elle partout, quant au mode de variation de ses dérivées pre
mières, de la môme continuité que les fonctions voisines 9 considé
rées? Ou, au contraire, est-elle un cas limite singulier de celles-ci,
qui, en lui donnant naissance, tendraient à perdre et perdraient en
effet leur graduelle variation, base indispensable des règles de maxi
mum ou de minimum exposées ici? On ne voit aucune raison de lui
supposer de telles discontinuités singulières ; et alors s’appliquent
sans difficulté à cette fonction 9 les équations (84) et (85), expri
mant l’annulation de toute la partie de la variation (87) qui est de
l’ordre des changements Ay des variables correspondantes.
Ainsi, le système (84), (85) d’équations aux dérivées partielles
admettra une solution, dont l’unité a d’ailleurs été démontrée plus
haut (p. 384*)- Mais on voit que la démonstration implique l’hypo
thèse, dans la fonction réalisant le minimum, d’une continuité au
sujet de laquelle pourraient, à la rigueur, subsister quelques doutes.
Peut-être cette difficulté est-elle, au fond, inséparable de celle qu’é
prouve notre esprit à construire nettement les intégrales des équa
tions aux dérivées partielles, surtout quand il n’y a pas de variable
principale pour en régler et en simplifier, si l’on peut ainsi dire,
l’ordonnance. Alors la pluralité des sens suivant lesquels varie la fonc
tion inconnue rend pénible ou même incomplète (sauf, sans doute, à
la suite d’une longue et minutieuse analyse) l’intuition simultanée des
détails qu’il s’agit de relier ensemble : or cette intuition est l’unique
source de notre sentiment intérieur d’évidence et, par suite, de la
certitude mathématique.
11 est clair que, sous la même réserve, les raisonnements précédents
s’appliqueraient, en remplaçant le volume ht par une aire plane et la
surface a par son contour, si la fonction 9 devenait indépendante de 3
ou n’avait à être considérée que dans le plan des xy. Ils s’étendraient
aussi à bien des cas de corps non homogènes ni isotropes, parvenus à
un état calorifique permanent.
