POUR DÉMONTRER L’EXISTENCE ANALYTIQUE D’ÉTATS PERMANENTS. 5 7 Ç)*
On peut, mais encore avec des restrictions analogues quant à l'hypo
thèse analytique de variation graduelle pour les fonctions considérées,
démontrer de la même manière 0) l’existence d’une solution du pro
blème de l’équilibre d’élasticité d’un système solide pesant quel
conque, lorsque chaque élément de de sa surface se trouve sollicité,
vers certaines situations données, par des ressorts ayant leur tension
fonction linéaire des écarts qui existent, suivant les trois axes, entre
cette situation locale de repos et la situation effective. Ce cas très
général comprend, à la limite : i° d’une part, celui où la partie con
sidérée de de surface est fixe grâce à l’attribution, aux coefficients
des fonctions linéaires dont il s’agit, de valeurs infinies, entraînant
pour les écarts des valeurs milles, et, 2°, d’autre part, le deuxième
cas extrême où la pression extérieure exercée sur de est donnée, cas
où il faut, au contraire, attribuer aux coefficients des valeurs éva
nouissantes, mais aux écarts des valeurs généralement fort grandes,
comme lorsqu’on a posé ci-dessus, dans (85), A 2 = o, mais A' 2 o 0 =;
une fonction donnée de x, y, z. L’énergie potentielle totale que
rend minimum l’état d’équilibre stable étudié se comjiose, d’abord,
de ses deux parties ordinaires, l’une élastique, l’autre de pesanteur,
représentées par deux intégrales s’étendant à tout le volume xz, et, en
outre, d’une troisième partie, dans le genre du second terme de (83)
ou constituée par une intégrale relative à la surface e, et qui ex
prime l’énergie potentielle des ressorts sollicitant la superficie.
C’est enfin d’une manière analogue, impliquant toujours les mêmes
hvpothèses analytiques de continuité, que se démontre (depuis Gauss)
l’existence d’une solution du problème général de l’Electrostatique, cas
où la fonction minima dans l’état d’équilibre se réduit à une énergie
potentielle de forces régies par les lois newtoniennes.
La transformation des questions de Philosophie naturelle en pro
blèmes de minimum présente donc, comme on voit, une réelle utilité,
indépendamment de son intéressante signification physique. Lagrange,
Navier, etc., s’en sont môme servis, une fois sa légitimité établie dans
toute une branche d’études, pour appliquer aux divers problèmes que
celle-ci comprenait le calcul des variations et poser ainsi, en annulant
identiquement les termes du premier ordre de petitesse par rapport
aux variations indépendantes, les équations mêmes du problème, tant
indéfinies que définies ou relatives aux limites. Dans une question assez
(’) Comme je le fais depuis 1886 dans le Cours de Mécanique physique de la
Sorbonne.
