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FONCTION F ( n ) ; SON EVALUATION POUR 11 ENTIER. 
Appliquée un nombre suffisant de fois, celte formule permettra, 
comme on voit, de retrancher a la variable n toutes ses unîtes entici es, 
de manière qu’il suffira de posséder une table des valeurs de la fonction 
r(n), entre les limites n — o et n= i, pour en déduire ses autres 
valeurs. Par exemple, en partant de 
r(i) = f e- x dx = (— e~ x )o — i, 
•Ai 
et faisant successivement, dans (21), n = 2, = 3, ~ 4, il 
viendra 
(22) (pour n entier) F(«) ou / x n ~ l e~ x dx — 1.2.3. ... (n -- 1). 
d 0 
Ainsi, le produit des n 1 premiers nombres entiers, à partir de 
l’unité, peut se mettre très simplement sous la forme d’une intégrale 
définie, puisqu’il n’est autre que F ( /1 ). 
La fonction r(/i), quand on y pose x — id, dx — 2 udu, et que, 
par suite, l’on y fait varier u — \[x depuis ^o, qui est zéro, jusqu’à y'oo, 
qui est infinie, devient évidemment 
(a3) 
r(«) 
X 
a 2 " -1 e~~“° du. 
Sous cette forme, nous la retrouverons plus loin, après le calcul de l’in 
tégrale définie très importante, dite quelquefois intégrale de Poisson, 
ÿ e~ u ‘du =Xr ; et nous achèverons alors d’obtenir r(n), grâce 
à (21), pour toutes les valeurs de n multiples de Mais quant à 
une expression générale de F {/1), il n’en existe pas de finie : aussi 
nous contenterons-nous de donner, vers le commencement de la 
XXX e Leçon, la plus simple de celles qui peuvent représenter la 
fonction avec une approximation indéfinie.