COMPLÉMENT A LA VINGT-CINQUIÈME LEÇON.
QUELQUES PROPRIÉTÉS SIMPLES DES INTÉGRALES ET FONCTIONS
ELLIPTIQUES; VALEUR MOYENNE GÉOMÉTRIQUE D’UNE FONCTION;
CALCUL APPROCHÉ, PAR UNE INTÉGRATION, DU RESTE DE CER
TAINES SÉRIES.
269*. — Transformation montrant la proportionnalité inverse de l’in
tégrale elliptique complète de première espèce à la moyenne arithmé-
tico-géométrique de l’unité et du module complémentaire.
Pour donner une idée des procédés auxquels il vient d’être fait allu
sion (p. 86), ou destinés à faciliter le calcul des intégrales elliptiques,
je choisirai comme exemple une élégante transformation (due en prin
cipe à Landen, géomètre anglais du xvin 0 siècle) dont l’application,
indéfiniment répétée, à l’intégrale de première espèce F{k, ©), y fai 1
tendre le module vers zéro et a conduit Gauss à une curieuse expres
sion de l’intégrale complète F‘(/i).
En vue de rendre les formules plus symétriques, j’y diviserai par
une quantité positive quelconque a la fonction F(/c, o), qui n’esl
do , ... ,
autre que i ■ . ‘ > de maniere a mettre le quotient
J 0 \Jcos 2 cp 4- ( i — A" 2 ) sin 2
F^^ sous la forme j ^ m —■> b désignant la quantité
a J 0 V 1a% cos 2 cp -+- 6 2 sin 2 cp
positive a\Ji — /f 2 , moindre que a. Il s’agira de le remplacer par une
intégrale de la même forme, f — ■ ^ 1 ? où l’ampli-
J \fa\ cos 2 ©! -f- b\ sin 2 «»!
tude coj se trouve comprise entre o et ~ si la proposée© l’est elle-même,
et où a¡, b t soient respectivement les deux moyennes des deux
nombres donnés a, b. l’une, arithmétique, a Y — \ {a ■+■ b), l’autre,
géométrique, b^ — \Jab. Comme on a identiquement
a\ — ¿I
et, par suite
i a — h r
