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* INTEGRALE ELLIPTIQUE DE PREMIÈRE ESPECE : 
la différence a\ — b\ sera tout au plus le quart de ce qu’est la diffé 
rence analogue o?— ¿i 2 dans 1 intégrale proposée. Donc, en lépétant 
un nombre suffisant n de fois la transformation, il viendra une inté 
grale encore de même forme, mais où, sous le radical paraissant dans 
la différentielle à intégrer, le coefficient du carré du cosinus de la 
variable ne dépassera celui du carré du sinus que d’une quantité infé 
rieure à — — et aussi faible qu’on le voudra, sans que ces coeffi- 
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cients, évidemment compris entre a- et h-, tendent eux-mêmes à 
s’annuler; d’où il suit bien que le carré du module, rapport de la 
différence des deux coefficients au plus grand d’entre eux, s’appro 
chera indéfiniment de zéro. 
La relation qu’il y a lieu d’établir entre © et cp t , pour effectuer cette 
transformation, est 
sin cp t 
(28) 
smcp 
a 
y/a\ — b\ sin 2 cp t 
ce qui donne un rapport -r—- - égal à la quantité essentiellement posi- 
1 quand 
tive 
— ---— : 7 décroissante de — à 
«1 \Ja\ — b\ sin 2 cpj a i a x -1-\Ja\ 
br 
cpi croît de zéro à - ; et ce qui, par conséquent, fait graduellement 
varier © de zéro à - en même temps que cp t , tout en maintenant <p t in 
férieur dans l’intervalle. De (28), où a peut être remplacé par 
«1 H- \/ a\-— bf, on déduit aisément pour cos <0 = \/i — sin 2 © l’expression 
(29) 
Ja‘\ cos 2 ©, —i— 6? sin 2 ©, 
cos© = -—-— ‘ - — cos©!. 
ai~\~ \fa\ — b\ sin 2 ©. 
D’ailleurs, en différentiant (28), il vient 
coscp</cp_ a x — \Ja\ — ùfsin 2 © 
b- cosçic?©!; 
a \a l -*r\/a\ — sin 2 ©,] 2 
d’où, après substitution, à cos©, de sa valeur (29), 
a, — y/af — b\ sin 2 ©, 
(3o) 
do 
do s 
«i -t- y a\ — b\ sin 2 ©, y/a 2 cos 2 ©i -r- b\ sin 2 ©! 
D’autre part, si, dans le radical proposé \Za 2 cos 2 cp h- ¿> 2 sin 2 <f 
a cos 2 ( 
/ «1 — y/af — b\ 
sin© j , l’on remplace ï par sa