4o* EXPRESS. DE l’iNT. COMPLÈTE F 1 PAR UNE MOY. ARITHM ÈTICO-GÉOMÉTRIQUE. 
donnés a, h : on l’appelle la moyenne arithmético-géométrique de ces 
TT 
nombres. L’intégrale proposée f -, sans clianger 
J 0 \/ a2 cos 2 cp sm 2 cp 
de valeur, prendra donc une infinité de formes et tendra finalement 
vers celle où, sous le radical, les deux, coefficients de cos 2 o et sm 2 o 
auraient la valeur commune M 2 . Or, sous cette forme limite, elle est 
immédiatement intégrable, puisque 
TC 
TC 
j: 
do 
y/M 2 cos 2 ca -+- M 2 sin 2 o 
I 
do ir 
Donc, sa valeur étant —l’on a 
2 M 
(34) 
I 
do 
y/a 2 cos 2 cp-F 6 2 sin 2 o 
x. M 
ou bien, en remplaçant le premier membre par 
et résolvant par rapport à M, 
F *(*) 
= - F 1 
a 
(35) Moyenne arithmético-géométrique de a et h — — 
lF, (l/ , -5î) 
Ainsi, une Table des valeurs de l’intégrale elliptique complète de 
première espèce permet d’obtenir aisément la moyenne arithmético- 
géométrique de deux nombres donnés quelconques, dont le plus 
grand est appelé a et Je plus petit b. A l’inverse, et vu la convergence 
rapide, vers leur limite, des moyennes arithmétiques et géométriques 
successives, formées à partir de deux nombres donnés a, h, le calcul 
approché de cette limite permettra d’évaluer très vite l’expression 
Tl 
rs_s_. 
J Q fa 2 cos 2 cp -t- 6 2 sm 2 cp 
c’est-à-dire de former une Table des valeurs de l’intégrale complète 
F 1 (/<■)• Si l’on fait a — i et b~k', la formule (35) signifiera que le 
produit de Vintégrale complète de première espèce, F 1 (A:), par la 
moyenne arithmético-géométrique de l’unité et du modale complé 
mentaire k 1 , égale — : l’intégrale complète est donc inversement pro 
portionnelle à cette moyenne arithmético-géométrique.