DES FONCTIONS ELLIPTIQUES SU, CH, dtl, tll. 4 1 * 
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270*. — Des fonctions elliptiques; théorème d’Euler sur les sinus 
et cosinus elliptiques d’une somme. 
tttira finalement 
f ®**? et sin ; 3 
li *>k elle est 
Nous avons vu (p. 84) qu’une intégrale elliptique F ou E, d’un 
module donné constant k, et l’amplitude cp de cette intégrale sont deux 
variables milles en même temps et indéfiniment croissantes ou décrois 
santes en même temps; de telle sorte même que, pour chaque accrois 
sement de cp égal à tt, F ou E croît de la quantité constante 2F 1 ou 2E 1 , 
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et que, à deux valeurs de cp équidistantes de correspondent des va 
leurs de F ou de E pareillement équidistantes de F 1 ou de E 1 . Il suit 
de là que les trois quantités cp, E, F varient simultanément d’une ma 
nière très commode pour se suppléer dans le rôle de variable indé 
pendante (du moins tant qu’il s’agit seulement de valeurs réelles), et 
que toute fonction bien déterminée de cp sera, si l’on y regarde cp comme 
dépendant de F ou de E, une fonction non moins bien déterminée 
de F ou de E. Or, Euler, Abel, Jacobi ont reconnu que l’on obtient 
1 ' a*/ 
ainsi des fonctions jouissant de propriétés aussi nombreuses que belles, 
et constituant d’admirables généralisations des fonctions trigonomé- 
iff 
triques auxquelles elles se réduisent dans l’hypothèse simple k = 0 
(où cp — F = E), quand on considère comme exprimés au moyen de F 
le sinus circulaire de l’amplitude cp, son cosinus circulaire ou du 
a-/ 
moins la fonction y/1 — sin 2 cp (en y réglant les changements de signes 
nplèle de 
ihmèüco- 
U \e plus 
>nver»ence 
omélriques 
h, le calcul 
par la loi de continuité), et la tangente circulaire de cp, ou plutôt le 
rapport de sincp à la précédente fonction y/ 1 — sin 2 cp. On peut les appe 
ler sinus, cosinus et tangente elliptiques de F ; et on les représente 
soit avec Jacobi, par sinamF, cosamF, tangamF (c’est-à-dire sinus, 
cosinus, tangente de Vamplitude de F), soit plus simplement, avec 
Gudermann, par snF, cnF, tnF. 
pression 
Si l’on y joint la fonction, toujours positive (pour cp réel), y/1 — Æ 2 sin 2 cp, 
■ale complète 
n i liera que le 
f'(k), parla 
Me compté- 
que l’on représente par dnF et qui, analogue à y/x — sin 2 cp=zcnF 
(qu’elle égale pour F —0), est aussi une sorte de cosinus, on aura 
ce qu’on ajipelle les fonctions elliptiques d’une variable F. Celle-ci, 
elle-même, F, prend le nom d’argument, censé être une généralisation 
du mot arc qui la désigne dans le cas particulier /f=ro; et l’on 
applique au besoin la même dénomination d’argument à la variable 
des sinus, cosinus et tangente hyperboliques. Peut-être emploiera-t-on 
un jour ces fonctions sn, en, dn, tn dans certaines questions soit de la 
er^emenl pro- 
Mécanique physique, soit de la Mécanique céleste. Mais, jusqu’à pré 
sent, leur intérêt ne s’est guère révélé que dans l’Analyse pure et dans