ETUDE DE LA PÉRIODE IMAGINAIRE. 
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limites ± F 1 (£'), l’équation différentielle astreindra ^ à reprendreles 
mêmes séries de valeurs qui, entre ces limites, précédaient ou suivaient 
la première qu’on attribuera à i en deçà de G ——F 1 (A') ou au delà 
de G —FQA 7 ). Or on ne peut réellement pas choisir à volonté cette 
première valeur. Il convient, en effet, aux moments où le passage 
d’une fonction par l’infini porte atteinte à sa continuité parfaite, d’y 
atténuer du moins, autant que possible, la discontinuité, et cela de 
deux manières, savoir, d’une part, en empêchant la discontinuité 
d’atteindre aucune valeur assignable de la fonction, c’est-à-dire en 
attribuant à la fonction non pas une valeur finie, mais une valeur infi 
nie, à la suite de la valeur infinie qu’elle a prise, et, d’autre part, en 
achevant d’y rendre graduellement variable l’inverse, alors nul, de la 
fonction, grâce, d’ordinaire, à un changement de signe comme celui 
qu’offre, dans la plus simple ou la plus élémentaire des discontinuités, 
une fraction à termes continus dont le dénominateur passe par zéro. 
Donc il faudra, dans chacun des intervalles 2 F 1 (A 7 ) compris respective 
ment entre G = F* (A 7 ) et G = 3F' ( A-'), G = 3F 1 (A'') et G = 5 F 1 ( A'),..., 
G——3F 1 (A'') et G=—F 1 (A 7 ), etc., faire prendre à 4* les mêmes 
valeurs que dans le premier intervalle considéré, tombant entre les 
limites G = gz F 1 (A 7 ). 
Par conséquent, 4 sera une fonction impaire périodique de G dans 
le genre de tang4, mais avec 2F 1 (A 7 ), au lieu de tz, pour période. Et 
le sinus elliptique sn( G y/ — 1), ou \J —i sih4, infini pour les valeurs 
de G égales aux multiples impairs de F 1 (k 1 ), aura la période imagi 
naire 2F 1 (A 7 ) y/ — 1. 
Quant aux fonctions cn(G\/—1) et dn(G\/ — i ), définies respec 
tivement par \/1 — sn 2 (G\/ —-1) et y 1 — A: 2 sn 2 (G\j— i) avec la condi 
tion de se réduire à l’unité pour la valeur [initiale G \J— 1 = 0 de la 
variable, la même raison naturelle de la plus grande atténuation pos 
sible de leurs discontinuités, pour les valeurs de G, égales aux mul 
tiples impairs de F 1 (A 7 ), qui les rendent infinies, conduira à y changer 
à ces instants le signe du radical. Ainsi en F, dn F reprendront leurs 
valeurs absolues avec signes contraires quand G croîtra de 2F 1 (A 7 ), et 
elles auront pour période imaginaire 4 F 1 (A 7 ) \J — 1. En particulier. l’ex 
pression de en ( GQ — 1 ) au moyen de 4> savoir dz y/ 1 -h sih 2 4 ou 
dz coh if, sera alternativement coh 4 et — coh 4. 
Les fonctions elliptiques se réduisent aux transcendantes classiques 
plus simples lorsque le module atteint l’une ou l’autre de ses deux 
valeurs extrêmes k — o, k = r. Alors, en effet, l’équation qui relie F à 
la variable intermédiaire œ devient simplement dF = dy, pour k=o, et