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DISPARITION D’UNE PÉRIODE DANS LES CAS LIMITES. 
c/F i 
_ c i\ 0 a- tang(-+?), pour k — i; ce qui, vu Fannulation 
uns CD & V 4 2/ 
convenuie de cp pour F — o, donne soit cp — b > soit log tang ( , + ^ j — 1 
et, par suite, cp =—-+2arctange F , relations permettant d’élimi 
ner cd des formules, sincp, coscp, etc., des fonctions elliptiques. 
Il v a donc lieu de se demander pourquoi ces transcendantes plus 
simples, cas limites des fonctions elliptiques, ne conseivent pas la 
double périodicité de celles-ci. La raison en est dans la valeur infinie 
de l’intégrale F(i,cp)= f' ' /? . - — log tang I* + î) quand elle 
' J 0 V 1 — sin 2 cp \ t 2/ 
devient F^i), c’est-à-dire quand on y pose cp = -- Il suit, en effet, 
de là, que la période imaginaire 2 F 1 (/F) v / —i de snF devient infinie 
pour k —O ou k'—i, tandis que c’est au contraire la période réelle, 
4F 1 (A‘), qui le devient à son tour pour k — i. Donc une des deux pério 
dicités disparaît dans chacun des deux cas extrêmes, parce que l’am 
plitude delà période y envahit toutle champ de variation de la variable 
correspondante G ou F. 
274*. — Valeur moyenne géométrique d’une fonction. 
Considérons encore, dans l’intervalle compris entre les limites x 0 —.a 
et x a -= b, les valeurs, supposées ici toutes positives, que reçoit une 
fonction j\oc), quand x y prend la valeur initiale ¿c 0 etles« — x valeurs 
intermédiaires équidistantes x 1} ¿c 2 ,. . ., x n _ x ; mais, au lieu d’en calcu 
ler la moyenne arithmétique, c’est-à-dire de chercher la /i ième partie de 
leur somme, prenons la racine n lkm0 de leur produit, indiquée par l’ex 
pression 
VA æ o)Axi).. 
Cette expression, qui, dans le cas de deux valeurs seulement,/(¿Tu) et 
J\xi) par exemple, serait leur moyenne proportionnelle ou moyenne 
géométrique, s’appelle, par extension, la valeur moyenne géométrique 
des n quantités/(# 0 ), /(aq), f{x 2 ),. . .,f{x n _ x ). Et, si nous imagi 
nons que,« grandissant indéfiniment, les valeurs x 0 ,x x ,. . .,x n __ x ,x n se 
rapprochent de plus en plus l’une de l’autre, la moyenne géométrique 
tendra vers une limite qu’on appelle la valeur moyenne géométrique 
de la fonction J\x) dans l’intervalle considéré. 
Pour démontrer que cette limite existe, et pour l’évaluer, appelons 
¡j. le radical sJJ\x 0 )J (x x )... f{x n _ x ). Son logarithme sera évidem-