VALEUR MOYENNE GÉOMÉTRIQUE D’UNE FONCTION. /|9* 
ment la /i ième partie de celui du produit f{,&o)f{xi) • ■ • /(¿£ ;i _i), et 
l’on aura 
lo gF = “ [log/(a?o)-t-log/(a7 1 ) + ...-l-log/(a7 /l _i)]. 
Cette formule montre que log ¡x est simplement la moyenne arithmé 
tique des 7i valeurs prises par la fonction log/(^) et que, par suite, 
à la limite /1 = 00, log ¡x sera la valeur moyenne de Iog/(^r), savoir, 
log/(a?) dx. Enfin, passant du logarithme népérien du 
nombre [x à ce nombre e 10 ^, et observant que ¡x désigne, à la limite, 
la moyenne demandée, il viendra 
u 
(46) 
Cherchons, par exemple, la valeur moyenne géométrique de x m 
(m étant positif) entre les limites x — o et x — 1. On aura, ici, a — 0, 
b — 1, f {x) = x m et 
Or J\\ogx) dx — x logn;—f xdlogx = xlogx — x, et le produit 
x\ogx s’annule, non seulement à la limite supérieure 1, mais aussi à 
la limite inférieure zéro (t. I, p. i4o)> H vient donc 
et la formule (46) donne 
(47) VaI.moy. géom. de x m (entre zéro et 1) = e~ m = — ou 
e~ m = -—• ou 
e' n 
(2,718...)™ 
La moyenne arithmétique serait, dans les mêmes conditions, 
f x m dx — —-— 
J« 1 + ™ 
1 +m 
quantité supérieure à la moyenne géométrique; car le dénominateur e rn 
égal à 1 H -h- ——h. •., est plus grand que le dénominateur 1 -h m. 
Cette remarque s’applique à un nombre quelconque n de quantités 
positives inégales : leur moyenne arithmétique, que j’appellerai M, 
dépasse toujours leur moyenne géométrique ¡x. Soit, en effet, M (1 + a) 
leur expression générale, où a désigne, pour chacune, son écart ixlatij 
d’avec la moyenne M, supérieur à — 1. L’égalité, à «M, de leur somme 
B. — II. Partie complémentaire. 4