COURBES DÉFINIES PAR UNE RELATION ENTRE L’AIRE ET L’ORDONNÉE. 
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KM, 
Quand l’ordonnée M'M ou y s’éloigne à l’infini, elle tend vers zéro 
et la valeur absolue de cj tend vers h. Donc h représente la moitié, 
OSA ou OSA', de la surface totale comprise entre la courbe et son 
asymptote. Or delà résulte, en élevant (i3) au carré, résolvant par 
rapport à y, et observant que la différence A 2 — s 2 est le produit des 
D'ARCS 
deux facteurs A qz o- ou OSA zp OSMM', 
(14) y = j {h-—(t 2 )= j (aireMM'A)(aireMM'A'); 
le solitaire; 
elles p'eüe 
ce qui exprime que les ordonnées abaissées perpendiculairement sur 
Vasymptote so/it proportionnelles au produit des deux parties en 
lesquelles elles divisent l’aire totale comprise entre cette asymptote 
et la courbe. 
ti une aire 
D’ailleurs une relation delà formey =n ç(o-), comme Q4), qui donne 
l’ordonnée y d’une courbe en fonction de l’aire / ydx — v comptée 
éqaatioo, 
'O) 
à partir de l’origine des abscisses x, suffit pour définir cette courbe : 
Me, est 
car, si l’on fait, de proche en proche, varier la quantité y d’abord 
nulle, l’espacement dx des ordonnées successives sera tel, à chaque 
positive 
instant, que l’on aura sans cesse y dx — de, c’est-à-dire 
raccor- 
surlace 
da d<7 
' ~y 
perpendi- 
déslgnera 
,gue même 
aul [avant 
d’où il suit que la longueur totale x de faire balayée jusqu'à un mo 
ment quelconque par l’ordonnée variable y résultera de la formule 
x — J ■ Le lieu des points {x, y) se trouvera donc, grâce à la 
variable auxiliaire a, parfaitement déterminé au moyen de la fonction 
unique (<t). 
L’équation (14), dans laquelle s’introduirait d’ailleurs un terme du 
premier degré en a, à coefficient arbitraire, si l’on changeait l’origine 
des a ou des abscisses, et un terme constant aussi arbitraire, si l’on dé 
plaçait en outre l’axe des x parallèlement à l’asymptote base de faire o- 
considérée, est évidemment l’une des plus simples relations que fon 
puisse avoir entre l’ordonnée y d’une courbe et une surface a qu’elle li 
mite. Comme cette relation n’atteint que le second degré en a, la dérivée 
t 
ih*X 
seconde s’y réduit à une constante. Or la courbe ASA' doit à cette 
d't 2 J 
»h 5 J par sa 
propriété de représenter la coupe longitudinale des gonflements liquides 
appelés ondes solitaires, qu’on voit souvent se propager le long des ca 
naux ou venir du large, au bord de la mer, déferler sur une plage en 
pente douce; la surface du flot y a en effet, au-dessus du niveau xx'