AIRE LIMITÉE PAR UNE COURBE ÜNICURSALE. 
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ment à l’jnij. 
* au moyen de 
' llD naìtre celli 
e< limites sont 
supposant le mouvement uniforme et d’une vitesse égale à l’unité. 
Alors, si l’on compte à la fois les arcs et le temps à partir du point de 
départ du mobile, le temps t égale l’espace s, et les intégrations se 
font, par rapport à s, entre le limites s — o, s — S, S désignant la lon 
gueur totale du contour. 
‘Primer les sajj. 
ns intégrale 
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on à la moitié 
i triple formule 
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empst. pour lui 
point mobile,«« 
28i*. — Application à une orbite unicursale; aire du folium de Descartes. 
La méthode précédente conduit à de simples intégrations de diffé 
rentielles rationnelles, entre limites faciles à fixer, quand l’orbite du 
point mobile est une courbe unicursale, puisque alors on peut prendre 
pour t la variable en fonction de laquelle s’évaluent rationnellement 
les coordonnées x et y. Il faut seulement avoir soin, quand la courbe 
forme plusieurs boucles, d’évaluer séparément l’aire contenue dans 
chacune d’elles; car, si le point décrivant, au lieu de passer de l’une 
à l’autre en contournant sans cesse la surface totale proposée, même 
au point multiple où sa largeur s’annule et où les boucles se joignent, 
l’y traverse au contraire, comme le lui impose ordinairement sa con 
tinuité de direction, les aires de deux boucles tracées consécutivement 
se trouveront affectées de signes différents dans les intégrales f xdy, 
fyd x; de sorte que celles-ci, évaluées pour l’ensemble, n’en re 
présenteront que les sommes algébriques, excédents effectifs de cer 
taines aires sur d’autres. 
Les formules deviennent particulièrement simples quand l’orbite 
est, ou du second degré, et rapportée à une origine en faisant partie, 
ou du troisième degré et pourvue d’un point double choisi lui-même 
comme origine. Dans ces deux cas, en effet, le rapport^ peut servir 
de variable auxiliaire t (p. 26*); et comme, sous le signe J" du dernier 
membre de (17), l’expression xdy—ydx est identique à a.f-d J —-. 
il vient 
(18) 
Aire = 
sin y 
2 
„t —t Q -f-T 
/ x-d 
d t =f 0 
y _ sin T 
x 2 
Appliquons, par exemple, cette formule au folium de Descartes. 
C’est la courbe définie, en coordonnées rectangles, par l’équation 
x 3 -j-y s — Ç l ) xy ~ o, et qui, gardant cette équation (pareille en 
x et y) après l’échange des deux coordonnées x et y dû à une demi- 
rotation de la courbe autour de la bissectrice de l’angle des xy posi 
tifs, est évidemment symétrique par rapport à cette bissectrice. Aussi