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AIRE DU FOLIUM DE DESCARTES. 
l’adoption de celle-ci pour axe des abscisses, avec un axe des ordon 
nées perpendiculaire, rend-elle aisée la construction de la courbe par 
points et l’étude des particularités de sa forme. Bornons-nous à faire, 
ici, y ~ tx dans l’équation, symétrique en x et y. Il viendra immé 
diatement, pour x et j, 
(, 9 ) x = W' 2 71,173’ W-ï 7^173' 
Quand t varie de zéro à 00, c’est-à-dire quand le rayon vecteur OM 
décrit l’angle xOy, ces deux expressions sont positives, finies, conti 
nues et, de plus, uulles aux deux limites. Donc le point M y décrit 
y 
une boucle fermée ou feuille OMLM' (qui est, à proprement parler, 
le folium de Descartes), ayant pour longueur OL, suivant son axe, 
ticulière t ~ i de OL. Quant aux inclinaisons t négatives, elles donnent 
respectivement, de t~o à t = — r, et de t — — 00 à t = — 1, les deux 
prolongements infinis OA et OA' des deux arcs LMO, LM'O, avec 
passage brusque de l’un à l’autre, le long de leur asymptote commune 
normale à OL, à l’instant t — — i où s’annule le dénominateur 1 t 3 
des expressions (19) de x et y. 
Cela posé, évaluons l’aire de la feuille O MM'O. Nous n’aurons qu’à 
faire, dans le dernier membre de (18), siny=z:i, t 0 — o, T = 00, et à 
mettre pour x sa valeur (19). Il viendra successivement, par une in 
tégration immédiate, 
Donc la surface du folium de Descartes est le tiers du carré construit 
sur sa longueur comme côté.