AIRES DÉFINIES EN COORDONNÉES POLAIRES. 
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285*. — Évaluation des secteurs plans; signification des cosinus et sinus 
hyperboliques d’un double secteur d’hyperbole équilatére. 
Quand un arc d’une courbe plane, unicursale ou non, n’a qu’un 
seul point sur chacun de ses rayons vecteurs r émanés de l’origine, 
il suffit de le concevoir parcouru par un point mobile {x, y), dans 
le sens suivant lequel grandit le rapport ^ = t qui définit la direc 
tion du rayon r correspondant, pour que la dernière expression (18), 
savoir fx 2 dt, représente, entre deux limites quelconques 
¿ = ¿0, i — t l , le secteur balayé par ce rayon variable r. En effet, 
si le point mobile, avant de décrire l’arc du secteur, est venu de l’ori 
gine le long du rayon vecteur défini par t 0 , et qu’après le parcours 
du même arc il retourne à l’origine le long du rayon vecteur défini 
par t\, il aura contourné tout le secteur, dont Faire sera par suite 
la somme ^ fx 2 dt prise pour tous les éléments du chemin ainsi 
parcouru; et comme, t se trouvant constant (ou le facteur dt nul) le 
long des deux rayons vecteurs, aucun élément de l’intégrale ne sera 
fourni par ces première et troisième parties du trajet, il ne restera 
que les éléments compris entre t = t 0 et t = ti, savoir, en tout. 
r 
x 2 dt. 
Supposons actuellement rectangles les coordonnées x, y. Alors 
l’abscisse x égalera la projection, sur l’axe des x, du rayon vecteur r, 
et le rapport - — £ ne sera autre chose que la pente de ce dernier, ou 
la tangente de son azimut, angle fait par ce rayon vecteur avec l’axe 
des x positifs. Si l’on appelle 0 cet angle, dont r pourra être censé, le 
long de l’arc, une fonction connue, il viendra par conséquente = rcosC, 
dt — d tangO — ; et, en appelant 6 0 , (fi les deux valeurs de l’azi 
mut pour les deux valeurs extrêmes t 0 , t { de t, on aura, au lieu de 
(18), l’expression, en coordonnées polaires, de Faire du secteur, 
(2l) 
Aire du secteur = - 
1 
/’2 d0. 
C’est le résultat auquel on serait directement parvenu en observant 
que le secteur élémentaire compris entre deux rayons vecteurs con 
sécutifs r, r-\-dr, inclinés l’un sur l’autre de ¿/0, est assimilable au