AIRES DEFINIES EN COORDONNÉES POLAIRES * SECTEURS HYPERBOL., ETC. 
62* 
triangle construit sur ces deux côtés, et dontl’aire-r(r-4-^r)sin(tí , e) 
o J 
ne diffère elle-même de - ddO que dans un rapport insensible. La 
a 
somme d’une infinité de secteurs élémentaires pareils se trouve donc 
bien exprimée par l’intégrale (21), pourvu qu on leur attribue con 
stamment le signe de cl0, c’est-à-dire qu’on les compte positivement 
quand ils sont décrits par le rayon vecteur ;■ dans le sens des azimuts 
croissants, négativement quand ils sont décrits dans le sens contraire. 
Et il est clair d’ailleurs que le rayon vecteur r peut y faire plus d’un 
tour, ou la variation totale 0 t — 0 o de l’azimut y dépasser 2 tt, à la con 
dition de compter, dans Faire, une même partie du plan, autant de 
fois qu’elle aura été décrite. 
L’intégration, au second membre de (21), se fait immédiatement, 
non seulement dans le cas du secteur circulaire pour lequel on a 
r — const., mais dans une infinité d’autres, comme, par exemple, dans 
celui de la spirale logarithmique, où, r se trouvant delà forme e a la 
surface comprise depuis le point asymptote, qui correspond à 6 = — 00 
(si a est positif), jusqu’à un rayon vecteur quelconque r, sera 
Il faut remarquer spécialement, à ce point de vue, le cercle et l’hy 
perbole équilatère, dont l’équation rapportée aux axes, x 2 ±y^=i 
(le demi-axe transverse étant choisi comme unité de longueur), per 
met d’y prendre, pour coordonnées x et y de chaque point d’une 
branche partie de l’axe des abscisses positives, le cosinus et le sinus, 
soit naturels (dans le cercle), soit hyperboliques (dans l’hyperbole), 
d’une même quantité a. Alors, en effet, le secteur compté à partir des 
1 r {) 
x positifs, savoir - / ¿/0, s’exprime très simplement au moyen de 
cette variable auxiliaire a, qui est, à volonté, le long de la branche de 
courbe, croissante de zéro à co et décroissante de zéro à — 00. Écrivons- 
, / -<r=<r 
le, d’après la dernière expression (17) [P-58*],; (xdy —ydx); 
2 d fy — 0 
et portons-y les valeurs dj = xd<7, dx = =p ydv, résultant de ce que 
x et y désignent soit cos a et sina, soit coh a et sihcr. Il viendra 
f {^±r)da, 
0 
c’est-à-dire 
Donde double du secteur, 
savoir, Faire comprise entre la courbe, l’axe transverse tout entier et un 
rayon vecteur prolonge de part et d’autre du centre, n’est autre chose 
que la variable auxiliaire a; ce qu’on savait déjà pour le cercle, où a