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PROPORTIONNALITÉ DE L’AIRE A L’ARC, DANS LA CHAINETTE. 63* 
se réduit à l’arc même, 6, dont le cosinus et le sinus sont, par défini 
tion, les coordonnées x et y de son extrémité; mais ce qui, dans le 
cas de la branche considérée d'hyperbole équilatère, montre que les 
coordonnées x, y y sont de même les cosinus et sinus hyperboliques 
du double secteur correspondant n. 
L’hyperbole équilatère présente donc une analogie analytique pro 
fonde avec le cercle, sinon dans les arcs, du moins dans les secteurs, 
malgré la disparité des formes; et, grâce à cette analogie, les fonctions 
cob, sih trouvent, comme on voit, dans l’hyperbole équilatère, une re 
présentation géométrique simple, celle qui leur a justement valu le 
nom de fonctions hyperboliques. L’analogie s’étend d’ailleurs à la 
fonction tahcr, devenue, semblablement à la tangente naturelle dans 
le cercle, la pente ^ du rayon vecteur r déterminant le double secteur a 
d’hyperbole. 
289*. — Courbe plane dont les arcs sont proportionnels aux surfaces 
qu’ils limitent au-dessus de l’axe des abscisses; rectification de la 
chaînette. 
En rapprochant les deux applications que nous avons faites des in 
tégrales définies aux courbes planes rapportées à des axes rectangu- 
laires, savoir, d’une part, le calcul de la surface 
y dx comprise entre 
ces courbes, l’axe des x, une ordonnée fixe d’abscisse a et une ordonnée 
mobile d’abscisse x, d’autre part, l’évaluation de l’arc correspondant 
i-h y' 2 dx, on peut se demander pour quelle courbe les deux 
intégrations n’en feraient qu’une, les aires y étant sans cesse propor 
tionnelles aux arcs. Comme, d’ailleurs, le coefficient de cette propor 
tionnalité variera de zéro à l’infini suivant l’unité de longueur adoptée 
(vu que la mesure d’une même ligne est en raison inverse de la gran 
deur de l’unité et l’aire d’une même surface en raison inverse du 
carré de celte grandeur), le rapport constant de Faire à l’arc devien 
dra ± i par un choix convenable de l’unité dont il s’agit : et l’on 
pourra de plus rendre positif, s’il ne l’est pas, ce rapport, en renversant 
le sens de l’axe des y; ce qui laissera invariable l’expression de l’arc, 
mais changera le signe des y ou celui de / ydx. Ainsi la courbe 
a 
cherchée devra être telle, que Faire et Farc, nuis initialement ou pour 
x~a, soient constamment égaux, c’est-à-dire y croissent de diffé 
rentielles y dx et y'i y' 2 dx sans cesse pareilles.