gg* RECTIFICATION des courbes en coordonnées polaires; 
O Z. Les deux, équations caractéristiques de la courbe, entre r, o elO, 
détermineront deux de ces coordonnées, en fonction de la troisième 
prise pour variable indépendante. 
Gela posé, un élément d’arc sera la diagonale d’un paral 
lélépipède rectangle à faces, les unes, jplanes, les autres, infiniment 
peu courbes, qui appartiendront aux surfaces 0 —const., o = const. 
et r — const., se croisant, trois en M, et trois en M'. En M, la sur 
face 0 = const. sera le plan mOMGs, la surface cp = const., un cône 
circulaire décrit autour de l’axe Os avec OM pour génératrice et cou 
pant le plan 6 = const. suivant cette génératrice OME; enfin, la surface 
r — const, sera une sphère ayant son centre en O, avec OM ou r pour 
rayon; et elle coupera le plan 6 — const. suivant MG, le cône sui 
vant l’arc circulaire horizontal MF, projeté parallèlement en mf. 
Les trois arêtes ME, MF, MG mutuellement rectangulaires, ainsi pro 
duites, seront d’ailleurs limitées en E, F, G par les surfaces analogues 
/• — const., 6 = const., o = const. menées en M'; et, si l’on appelle 
dr, o(0, dv les trois accroissements respectifs de r, 0, cp entre M et M', 
savoir, pour r, la différence OM 7 — OM ou OE — OM ME, pour 0, 
la différence ûsOf — æOm=.±mOf, et pour cp, la différence 
^OM'—mOM ou mOG — mOM — ± MOG, l’on aura, en valeur 
absolue, 
(34) ME = dr, MF ou m/= Om x J = rcostp J, MG = r x MOG — rd 
Enfin, la diagonale MM' du parallélépipède MEFGM', dont la forme 
diffère infiniment peu de celle d’un parallélépipède rectangle à faces 
planes, vaudra, à des infiniment petits près d’ordre supérieur et re 
lativement négligeables, la racine carrée de la somme des carrés des 
trois arêtes ME, MF, MG. Comme elle exprime l’élément ds de l’arc 
de courbe, il vient donc 
(35) ds = \Jdr^-v- /- 2 cos 2 cp<i0 2 -^ r^do 1 . 
Telle est l’expression qu’il faudra, pour rectifier l’arc AB, intégrer 
entre des limites données, après substitution, à deux des trois variables 
r, 0, cp et à leurs différentielles, des valeurs fournies par les équations 
de la courbe en fonction de la troisième variable, seule indépendante, 
et de sa différentielle. 
Quand la courbe est plane, on peut supposer cp — o; ce qui donne 
simplement ds — \Jdr 2 + r 2 £/G 2 , comme on sait (t. I, p. 201*). Quand 
elle est sphérique, ou que tous ses points se trouvent à égale distance 
du centre O choisi pour origine, une de ses équations, en adoptant