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RECTIFICATION DES COURBES : LOXODROMIE 
La longueur totale S de la loxodromie, d’un pôle de la sphère à 
l’autre, s’obtient en faisant 9 = : elle est, comme on voit, S = 
quantité finie tant que Y ne devient pas infiniment voisin de ± - , 
cas limite où. la loxodromie comprend successivement tous paral 
lèles. Mais, sauf l’autre cas simple où, par l’annulation de V, S atteint 
son minimum tz longueur d’un demi-grand cercle, cet arc fini ÿ 
décrit une infinité de spires autour de chaque pôle, qui est ainsi un 
point asymptote (t. I, p. 208*). En effet, pour les valeurs de cp voisines 
de la limite, soit inférieure, — -, soit supérieure, -h J, la formule 
Si 2 
(87) fait, respectivement, ou décroître 0 vers —00, ou croître 0 vers 
—\— GO. 
Imaginons que l’on prenne la perspective de la loxodromie sur le 
plan xOy de l’équateur, l’oeil de l’observateur étant placé au pôle si 
tué du côté des 5 positifs. Toutes les figures tracées sur la sphère se 
projetteront stéréographiquement sur le tableau xOy sans altération 
des angles de leurs parties infinitésimales (t. I, p. 278*); et, comme, 
de plus, les méridiens de la sphère deviendront évidemment, sur le 
plan xOy, les rayons vecteurs émanés de l’origine, la perspective de 
la loxodromie sera une courbe plane coupant tous ces rayons vecteurs 
sous l’angle Y, c’est-à-dire une spirale logarithmique décrite autour 
de l’origine O comme pôle avec son rayon vecteur (d’ailleurs égal à 1 
pour 0 — o) exprimé par e 9cotv ( t. I, p. 20Y). 
Le point de départ 0 =— de la loxodromie se projettera sur ce 
pôle O, et, ne se trouvant pas rejeté à l’infini, conservera sur l’image 
son rôle de point asymptote. Mais les spires de la loxodromie de plus 
en plus voisines de la seconde extrémité <p = -, où est l’œil, se dessi 
neront sur xOy de plus en plus loin du point O, avec une amplifica 
tion indéfiniment croissante; de sorte que cette seconde extrémité 
perdra sur l’image son caractère de point asymptote et même n’y 
figurera pas, rejeté quïl sera à l’infini. 
Cela posé, si l’on observe que chaque triangle rectangle infinitési 
mal ayant, sur la sphère, pour hypoténuse un élément ds de loxodro 
mie et pour un de ses autres côtés l’élément correspondant do de mé 
ridien, avec V pour angle compris, garde sa forme, dans sa perspec 
tive sur le plan xOy où ds devient un élément de la spirale et do un 
élément dr de son rayon vecteur, il sera évident que l’arc élémentaire