AIRE DE L’ELLIPSOÏDE. 
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et, comme sa pente sera uniforme, son aire elle-même, clans l’espace, 
égalera tdA. Il viendra donc, en définitive, pour faire de la surface 
jusqu’à ses éléments de pente infinie, 
( 2c ) Aire — / tcl\. 
jfl 0/2 ^2 
Prenons comme exemple fellipsoïde — -t- — = i, où je sup 
pose a^> h^> c, et soit à évaluer toute sa moitié située d’un même 
côté du plan des xy. Pour simplifier certaines formules, j’aurai à in 
troduire les excentricités, que j’appellerai respectivement e et ke 
( avec k ■< i), des deux ellipses d’intersection de la surface par les plans 
des zx et des zy. Je poserai donc 
(ai) 
b 2 = 
ou 
e 2 = i — 
7c 2 e 2 = i — 
c 2 . 
b 2 ’ 
et l’équation de l’ellipsoïde, multipliée par c-, s’écrira 
(22) (1 — e 2 )x 2 -h(i — k 2 e 2 )y 2 - s r- z 2 — c 2 . 
Les cosinus des angles de la normale avec les axes étant entre eux 
comme les demi-dérivées partielles (1 — e 2 )x, (1 — k-e-)y, z du pre 
mier membre en x, y, z, l’inverse t du troisième (cosy) vaudra le 
quotient de \/(i —e i ) i x i -t- (x — k' 2 e 2 ) % y 2 -\- z 1 par Ainsi l’on aura, 
comme formule reliant t à x, y, z, 
(x — e 2 ) 2 x' 2 -\-{i — k 2 e 2 ) 2 y' 1 - J r-( 1 — t 2 )z 2 = o; 
et, en ajoutant à celle-ci, pour en éliminer z, la précédente (22) mul 
tipliée par L 2 — 1, il viendra l’équation de la projection horizontale 
des courbes 7 = const. : 
(28) (t 2 — e 2 )(i — e 2 )x 2 -\-{ t 2 — 7c 2 e 2 )(i — k 2 e 2 )y 2 — c 2 {t 2 — 1 ). 
Ces courbes, sur le plan des xy, sont, comme on voit, des ellipses 
: 5 c’est- 
t 2 — i 
/ t 2 — 1 
ayant pout demi-axes y ¿-ji ’ [/ 
à-dire a y '¡r^y b y y- : /; y. et, pour surface, 
(24) 
A 
x.ab( t 2 — 1) 
\/(£ 2 — e 2 ){t 2 — k 2 e 2 )