CALCUL DE L AIRE DE L ELLIPSOÏDE, 
La formule (20) devient, par suite, 
(2.0 ) Aire du demi-ellipsoïde = tzah 
L’intégrale qui figure au second membre représente donc le rapport 
de Faire cherchée du demi-ellipsoïde à sa projection horizontale tïah. 
On voit que, dans le cas particulier d’une demi-sphère, où e — o, 
elle se réduit à 
c’est-à-dire à la valeur simple 2, déjà trouvée (p. i3o). Mais il nous reste 
à l’obtenir quels que soient e et k (entre zéro et 1). 
Une intégration par parties donnera d’abord 
HP — 1) 
( P-—i)dt 
h 
s/f 2 — e 2 )(P — A 2 e 2 ) 
{P-e 2 )(P-k*e*) 
Essayons maintenant de réduire le dernier terme aux intégrales 
E, F de Legendre, définies plus haut [p. 34*, form. (44)] sous leur 
forme canonique, et, pour cela, effectuons en premier lieu, sur le se 
cond membre de (26), une transformation propre à y remplacer le ra 
dical y/(H— e 2 )O 2 -—/c 2 e 2 ) par un autre, y/(i — zz 2 )( 1 — k-iP), qui 
paraît dans cette forme canonique. On y parvient en posant simple- 
ment t— —, de manière que H-—■ e 2 et H—A -2 e 2 acquièrent les fac- 
teurs, qu’on veut mettre à leur place, 1 — u 2 et 1 — k 2 « 2 . Grâce à 
edu 
u 2 
cette substitution de — à t (d’où di — — 
le second membre de 
u 
(26) devient 
(27) 1 e 2 -vf_ ^ 1 f {e 2 — u 2 )du 
eu v / (i--m 2 )(i — A 2 «2) ej /(p— a*)(i — k 2 u 2 ) 
Or, dans (27), le dernier terme se dédouble immédiatement en deux, 
du 
dont le second est — - 
et dont le premier, 
e 
i — u 2 )(i — k 2 u 2 ) 
( ) On doit à jM. Catalan ( Journal de Liouville, t. IV, 1889) cette élégante et 
immédiate réduction de Faire de l’ellipsoïde à une intégrale simple, par décom 
position en zones élémentaires de pente uniforme. Legendre, auparavant, était 
arrivé au même résultat, mais par des transformations compliquées.