AU MOYEN DES FONCTIONS E, F DE LEGENDRE. 
I 
Mo* le rapa,- 
tkère, où o— 
* a * s ‘1 n °H5 reste 
«x intégrales 
1)J sous leur 
eu, sur lese- 
i placer le ra- 
- iV), qui 
isanl simple- 
*renl les fac- 
IV. Grâce à 
nd membre de 
«ment en deux, 
al le premier, 
i eette élégante et 
mple. par décom- 
anparavant, était 
u3* 
•/- 
du 
par l’application de la formule (3a) du 
u* /(i — m 2 )(i — A 2 u 2 ) 
n° 252* (p. 29*), donne lui-même la somme de deux termes, 
/de 
frfr- 
id du e ! ; 
- i/(x — id)(i — /c 2 id). 
id)(i — /du-) 11 
Enfin, la relation (26), en réduisant ce dernier terme avec le premier 
de (27), devient simplement 
(28) 
\f‘ d 
t’ 2 — 1 
y/(£ 2 — e 2 )Q 2 —A 2 e 2 ) 
u 1-—e 2 — A 2 e 2 ( 1 — u 2 ) 
e y/fi — m 2 )(i — /did) 
r (k'e'id— i)du 
J /(> —“ 2 )(i — 
/did) 
Pour avoir la surface entière du demi-ellipsoïde ou plutôt, d’après 
(e5), son rapport à l’ellipse de base tz ab qui est sa projection hori 
zontale, il faudra prendre le premier membre de (28) entre les limites 
t= r, t = œ, ou, le second, entre les limites u — e, u — o. Il viendra 
donc 
Aire du demi-ellipsoïde 
(29) 
7c ab 
u 1 — e 2 — /d e 2 ( 1 
« 2 ) 
e Dt 1 • w 2 ) ( i — A' 2 u 2 ) 
u=e \ T ( 
U=0 e d() y/(f 
i — A 2 e 2 u ì )du 
u=0 v A — “ 2 )(î — k 2 id) 
Ici, le premier terme du second membre s’annule à la limite inférieure 
* c 2 
et vaut y (1 — e 2 )(1 — A 2 e 2 ) ou — à la limite supérieure. Quant au 
dernier terme, vu les expressions canoniques [p. 34*, form. (44)] 
du d e ( 1 — /d id ) du 
r— 
d 0 v/(l 
— id ) ( 1 — A 2 u 2 ) 
des deux intégrales 
v/(i — ii 2 )(l — A 2 £i 2 ) 
de Legendre F(A, arcsine), E(k, arcsine), il n’est autre chose que 
(1 — e 2 )F(A, arcsine)-!- e 2 E(A, arcsine) . . . , , , . , , 
Ainsi la formule (29) donne 
en définitive, pour la demi-aire de l’ellipsoïde ayant respectivement 
les demi-axes a 
v/i 
b 
\J 1 — A 2 e' 2 
et c, l’expression 
^ Demi-aire de l’ellipsoïde 
(3o) < e 2 E(A, arc sine ) h— f 1 — e 2 )F(A, arcsine) 
/ = TTC 2 -r- Tidb - —-— ’. 
I e 
Les fonctions E, F y dégénèrent en d’autres plus simples (p. 48*) 
dans les deux cas extrêmes A = o, A = 1, qui sont respectivement ceux