Ans der Reihe 1, 3, 5, 7..., mit der Differenz 2, 
entspringen die Summen 1 ff- 3, 1 + 3 4- 5, 1+3+5+7,... 
welche in der Reihe der Tetragonal- oder Qnadratzahlcn 
fortschreiten. Eben so gibt die Reihei, 4, 7, 10, 13..., 
mit der Differenz 3, die Reihe der Pentagonalzahlen, und 
überhaupt entsteht aus 
1, 1 4- ä, 1 ff. 2ä, 1 4- 3d, 1 + 4d.. die Reihe 
1, 2 + d, 3 + 3d, 4 + 6d, 5 + 10d.., 
woraus man, durch Setzung von d — 1, 2, 3, 4..., nach 
und nach alle vieleckigcn Zahlen erhält. 
Werden nun wieder die Glieder dieser Polygonalzahlen 
nach ihrer Folge summirt, so entstehen die Reihen: 
I. 
1, 
4, 
10, 
20, 
35, 
56 
II. 
I, 
5, 
14, 
o 
CO 
55, 
91 
. III. 
1, 
6, 
18, 
40, 
75, 126, 
u. s. w., deren Glieder Pyramidalzahlen genannt werden, 
weil man sich vorstellen kann, daß Spitzsäulen entstehen, 
wenn die Polygonalzahlen nach ihrer Folge, immer die kleinere 
über die nächst größere der nämlichen Reihe zu liegen kommt. 
Daher heißen die Glieder der Reihe I. die dreieckigen Pyra 
midalzahlen, der Reihe II. die viereckigen, der Reihe III. 
die fünfeckigen Pyramidalzahlen u. s. w. 
Wie durch Addition zu den spätern Reihen, so gelangt 
man durch Subtraction zu den frühern. So hat man bei den 
dreieckigen Pyramidalzahlen 
1, 4, 10, 20, 35, 56,... 
die ersten Differenzen . . 3, 6, 10, 15, 21,... 
die zweiten Differenzen . . .3, 4, 5, 6,... 
die dritten Differenzen . . . . 1, 1, 1,...