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Der Funktiönsbegriff. § 8. Stetigkeit der Funktionen. 
bar zu machen, sollen einige Folgerungen dieser Eigenschaft in Sätze 
gefaßt werden. 
1. Wenn die Funktion fix) in dem Intervall {a, ß) stetig ist, so 
läßt sich zu einem beliebig klein festgesetzten positiven s an jeder Stelle 
x = a im Innern des Intervalls ein hinreichend kleines positives 8 be 
stimmen derart, daß 
\A X )-A a )\< £ , ^ 
solange \ x — a | < 8. ^ ' 
Der Wert f(a) gehöre dem Intervall (A, B) an, und s sei so klein 
festgesetzt, daß auch f{d) — s und f{a) + £ ihm angehören; diesen 
letzteren entsprechen Werte von x aus (a, ß), die sich in einer der 
Formen a — h, a-\-h' oder a-fh, a — h' darstellen lassen, je nachdem 
A < B oder Ai> B ist; versteht man unter h die kleinere der beiden 
positiven Zahlen h, h', so genügt jedes ö, für das 0 < d < h besteht, 
der obigen Forderung. 
Ist das Intervall (a, ß) ein abgeschlossenes, so gilt der Ansatz (1) 
an der Stelle a nur für eine rechte, an der Stelle ß nur für eine 
linke Umgebung. Bei einem nicht abgeschlossenen Intervall sind a, ß 
auszuschließen. 
Der Ansatz (1) ist aber gleichbedeutend mit der Aussage 1 ): 
lim/O) = //), (2) 
x = a 
so daß man auch diese als Merkmal der „Stetigkeit an der Stelle a“ 
ansehen kann. 
Man nimmt vielfach diesen Satz zum Ausgangspunkt des Stetig- 
keitsbegriifs und erklärt dann eine Funktion als stetig in dem Inter 
vall 0, ß), wenn sie die Eigenschaft (1) oder (2) in jedem Punkte 
des Intervalls besitzt, wenn also 
lim /0) = /(hm x) 
so lange cc < x ^ ß oder a < x < ß. ' 
Sind x, x" zwei verschiedene Punkte aus der Umgebung (a — 8, 
a -f- d) von a, so daß 
I/O') -/(«) I < e 
I/O")“//) < £ ; 
so folgt daraus 
I/O")“/0') I < 2«. 
oder 
1) Es sei darauf Mngewiesen, daß Ansätze wie 
lim f(x) = f{g) 
x = a 
lim f{x -\-h) — f{x), 
h = o 
die auf den ersten Blick selbstverständlich scheinen, Stetigkeit voraussetzen.