Stetigkeitssätze. 
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Es läßt sicli also bei einer stetigen Funktion zu jeder Stelle eine hin 
reichend enge Umgebung konstruieren derart, daß irgend zwei Funktions 
werte aus dieser Umgebung sich beliebig wenig voneinander unter- 
scheiden. 
2. Eine im abgeschlossenen Intervall a <¡ x <¡ ß stetige Funktion 
f(x) ist daselbst endlich und nimmt wenigstens einmal einen kleinsten 
Wert m und einen größten Wert M an. 
Die erste Behauptung ist implizite in dem 50. entwickelten 
Stetigkeitsbegriff enthalten, da ja zu jedem a <i x <¡ ß ein bestimmter, 
also ein endlicher Wert von f{x) gehören muß. 
Sind (А, С), (C, D), . . . (К, В) die Intervalle, welche f{x) nach 
einander stetig durchläuft, so ist die kleinste der Zahlen А, В, C,... K,B 
das m, die größte das M. 
Eine im nicht abgeschlossenen Intervall а<ж</3 stetige Funktion 
braucht daselbst nicht endlich zu sein; existieren lim f{x) und lim fix), 
а; = а + 0 x = (i — 0 
so ist sie endlich, und bei der Aufsuchung der äußersten Funktions 
werte kommen diese Grenzwerte, die die Funktion innerhalb des Inter 
valls nicht anzunehmen braucht, mit in Betracht; es kann unter solchen 
Umständen die Funktion statt eines kleinsten und größten Wertes 
auch blos eine untere Grenze g und eine obere Grenze G besitzen, die 
sie wirklich nicht erreicht. 
Den Unterschied M—m, bzw. G — g, bezeichnet man als die 
Schwankung der Funktion f(x) im Intervall (a, ß). 
Einige kleine Beispiele werden diese Ausführung besser beleuchten. 
f{x) = 3x — 5 für 1 < x 2 ist eine stetige und endliche Punk 
tion mit m — — 2 und M = 1 und mit der Schwankung M— m — 3. 
fix) = 3x — 5 für 1 < x < 2 ist eine stetige und endliche Funk 
tion mit der unteren Grenze g — — 2 und der oberen G = 1, die 
beide nicht erreicht werden, und mit der Schwankung G — g = 3. 
f{x) = — für 0 < x ^ 1 hat keine obere Grenze, weil lim fix) = oo 
x x-+0 
ist, wohl aber einen kleinsten Wert m = 1; von einer Schwankung 
kann hier nicht gesprochen werden. 
3. Wenn die Funktion f{x) in dem abgeschlossenen Intervall 
a <^x <iß stetig und wenn f{a) 4= /(ß) ist, so gibt es zu jeder Zahl g 
zwischen /(a) und f{ß) mindestens eine Stelle | in (a, ß), an der 
/(£) = g ist. 
Ist die Punktion monoton, so ist (A, B) ihr Bereich, und da sie 
jeden Wert aus diesem Bereiche und jeden nur einmal annimmt, so 
gilt dies auch für g. 
Besteht sie aus abwechselnd zu- und abnehmenden monotonen 
Abschnitten und sind (A, C), {C, B), . . . {K, B) die Intervalle, die sie 
der Reihe nach durchläuft, so muß g in mindestens einem derselben