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Der Funktionsbegriff. § 3. Stetigkeit der Funktionen. 
Vorkommen; denn die Annahme, daß es außerhalb aller Intervalle 
liege, stünde entweder mit /{cc) < g oder mit g <f{ß) im Wider 
spruch. 
Es ist eine Folge des obigen Satzes, daß die Funktion auch jeden 
Wert zwischen m und M annimmt; denn die Stellen, an welchen 
f{x) gleich m, bzw, gleich M ist, gehören dem Intervall (cc, ß) an. 
Eine weitere wichtige Folge spricht der folgende Satz aus: 
Wenn die Funktion fix) in dem abgeschlossenen Intervall a F x <i ß 
stetig ist und an seinen Enden entgegengesetzt bezeichnete Werte besitzt, 
so existiert wenigstens eine Stelle | in (a, ß), an der /(£) = 0 ist. 
Da nämlich f(x) jeden Wert zwischen /(cc) und /(ß) innerhalb 
(cc, ß) mindestens einmal annimmt, so gilt dies auch von 0, das nun 
zwischen /(cc) und /(ß) liegt. 
4. Hat eine in dem Intervall (cc, ß) stetige Funktion fix) die 
Eigenschaft, daß zu einem beliebig klein festgesetzten positiven e ein 
hinreichend kleines positives d bestimmt werden kann derart, daß 
\/(x")-/(x)\<8 
solange x" — x' | < d, 
so nennt man sie gleichmäßig stetig in dem Intervall. Der Sinn dieser 
Definition ist also der, daß, wo man auch zwei Stellen in (cc, ß) be 
zeichnet, deren Abstand unter d liegt, der Unterschied der zugehörigen 
Funktionswerte jedesmal dem Betrage nach kleiner als e ist. 
Bei dieser Eigenschaft muß zwischen abgeschlossenen und nicht 
abgeschlossenen Intervallen wohl unterschieden werden; bezüglich der 
ersteren gilt der wichtige Satz: 
Eine im abgeschlossenen Intervall (cc, ß) stetige Funktion ist daselbst 
gleichmäßig stetig. 
Es werde zunächst vorausgesetzt, die Funktion sei monoton 
wachsend und (A, JB) ihr Intervall; man teile dieses in soviel (n) 
Jg £ 
gleiche Teile, daß = & < - sei. Zu den Funktions werten 
/(«), /(«) + h A a ) + -k, • • • /(«) + n—lk, /(ß) 
sollen die (gleichfalls steigend geordneten) Argumentwerte 
x 0 — cc, x x , x% ... X n _ 1 , ß = x n 
gehören; je zwei benachbarte bestimmen ein Intervall, und das kleinste 
unter diesen n Intervallen habe die Größe h; dann genügt jedes ö, für 
das 0 < d <( h besteht, der obigen Forderung. Nimmt man nämlich 
irgend zwei Werte x, x" an, für die x"— x <ih, so fallen sie ent 
weder in ein und dasselbe Intervall {X v x i+1 ), oder sie verteilen sich 
auf zwei benachbarte Intervalle xß, (x i} x i+1 ). Im ersten Falle 
ist unmittelbar 
I/O") -/0') I <