Gleichmäßige Stetigkeit. — Unstetigkeiten. 
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im zweiten Falle hat man sowohl 
als auch 
daher wieder 
1/0*0 -/0*0 i < | 
1/00-/0*01 
1/(0 -/0*01 < £ - 
Besteht die Funktion aus mehreren monotonen Abschnitten, so 
führe man die beschriebene Operation für jeden Abschnitt gesondert 
aus; das kleinste unter den gefundenen h genügt dann für den ganzen 
Y erlauf. 
In einem nicht abgeschlossenen Intervall besteht gleichmäßige 
Stetigkeit nur dann, wenn die Funktion gegen die Enden hin be 
stimmten Grenzen sich nähert. So ist die Funktion f{x) = ?>x — 5 
auch in dem Intervall 1 < x < 2 gleichmäßig stetig; nicht so jedoch 
l 
die Funktion fix) 
in 0 < x <! 1, weil lim f{x) 
x = + 0 
oo : hier wird 
d, je mehr man sich der Anfangsstelle 0 nähert, bei gegebenem s 
immer kleiner, und es gibt kein genügend kleines d, das durchwegs 
entsprechen würde. 
52. Verschiedene Arten der Unstetigkeit (Diskontinuität). 
Wenn eine Funktion f{x) in der (ein- oder beiderseitigen) Umgebung 
einer Stelle x — a definiert ist, die Stetigkeitsbedingung (1) aber nicht 
erfüllt, so heißt sie an dieser Stelle unstetig oder diskontinuierlich. An 
der Stelle selbst kann die Funktion vermöge ihres analytischen Aus 
drucks auch definiert sein, oder es versagt dieser Ausdruck hier; in 
letzterem Palle kann die Definition durch eine Festsetzung ergänzt 
werden. Immer kommt es darauf an, das Verhalten der Funktion hei 
unbegrenzter Annäherung an die Stelle a zu prüfen, zu untersuchen, 
ob die Funktion Grenzwerte besitzt, und welcher Art diese sind. Auf 
eine Klassifikation der mannigfaltigen Möglichkeiten soll hier nicht 
eingegangen werden; es möge genügen, einige charakteristische Fälle 
vorzuführen und durch Beispiele zu belegen. 
1. Es sei lim fix) = lim f{x) = b eine endliche Größe, /(a) ent- 
x=a—0 x=a+0 
weder nicht definiert oder von b verschieden. Ergänzt oder ändert 
man die Definition dahin, daß /(a) — b sei, so verhält sich die Funk 
tion an der Stelle a wie eine stetige, man spricht daher von einer 
hebbaren Unstetigkeit. 
Die Funktion f{x) = x cos/ (45, 2.) verhält sich an der Stelle 
x = 0 wie eine stetige Funktion, wenn man /(0) = 0 festsetzt; hei 
jeder andern Festsetzung ist sie wesentlich unstetig. 
Die Funktion f(x) = lim// 2 (n eine natürliche Zahl) ist für jeden 
Wert von x definiert, und zwar ist 1 ihr Wert, so lauge x =f= 0, und