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Der Funktionsbegriff. § 3. Stetigkeit der Funktionen 
0 für x = 0. Man hat also lim/(x) = lim f(x) = 1, hingegen /(0) — 0. 
.. x = — Ö a:=-f-0 
Ändert man die Definition dahin ab, daß /(0) = 1 sein solle, so ver 
schwindet die ünstetigkeit. 
2. Es sei lim/(x) =j= lim/(x) und beide endlich; ohne Rücksicht 
x-=a — 0 x = a + 0 
darauf, ob f{a) vorhanden und wie groß es ist, besteht Unstetig 
keit, weil sich keine Umgebung von a angeben läßt, in welcher 
\/{x") — fix') |< £ wäre für beliebige x', x" und ein beliebig klein 
gewähltes s. 
Man spricht hier von einem endlichen Sprung. 
X 
Die Funktion f(x) = ist für x = 0 nicht definiert; es ist 
l 
aber lim /{x) = — 1 und lim fix) = 1; bei Überschreitung von 0 
x = — 0 x=+0 
findet also ein Sprung von — 1 auf 1 statt, während sich die Funktion 
im übrigen stetig verhält. 
Die Funktion f{x) = lim —-(n = 1, 2, • • •) hat den Wert 0, 
n = co 1 -f- X 
solange | x | > 1; den Wert 1, solange | x | < 1; hingegen ist /{— 1) = 
y(l) = Ä-; wenn also x wachsend die Stelle — 1 durchschreitet, springt 
der Funktionswert von 0 auf ■— und unmittelbar darauf auf 1, und 
das umgekehrte findet beim Passieren der Stelle 1 statt. 
Die Funktion /(x) = x — Qr], 
worin \x\ die algebraisch größte in 
x enthaltene ganze Zahl bedeutet 
und deren Bild in Fig. 27 angedeutet 
ist, bietet ein Beispiel von unendlich 
vielen endlichen Sprüngen dar. Aus 
dem Bilde wären eigentlich die 
Punkte in den Linien y = — 1 und 
y = 1 auszuscheiden. Ist n 
sitiver echter Bruch, so ist 
eine positive ganze Zahl und d ein po- 
/(n — d) = n — d — (n — 1) = 1 — d, 
f{n -fd)=w + i- w = Ö, 
während = n — n — 0 ist; 
ähnlich für negative n. 
3. Wenigstens einer der Grenzwerte lim f{x), lim f{x) existiert 
x=a—0 x=a+0 
nicht; es findet eine Unstetigkeit statt, was auch bezüglich /{cl) selbst 
gelten möge.