Unstetigkeiten. — Unendliclikeitsstellen. 
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Ein Beispiel hierzu bietet f(x) = sin ^ an der Stelle x = 0 dar 
(45,1.); denn lim sin — existieren nicht, weil die Funktion, wie klein 
^ = ^0 x 
auch | x | werden möge, niemals aufhört, zwischen — 1 und 1 zu 
schwanken. 
4. Wenigstens einer der Grenzwerte lim/(x), lim/(x), ist unend- 
x = a —0 x=a+0 
lieh. Man nennt dann a eine ünendlichkeitsstelle der Funktion. 
Bei der Exponentialfunktion fix) = e x ist limf(x) =0, lim/(x) = oo; 
x = —0 a; = + 0 
setzt n^an also _/(0) = 0 fest, so verhält sich f{x) links von 0 stetig; 
wegen des rechtsseitigen Verhaltens ist aber x = 0 ein Unendlich 
keitspunkt. 
Die Funktion f{x) = ~ hat 0 zur Unendlichkeitsstelle, und zwar 
ist lim f(x) = — oo, lim /(x) = oo. 
x = — 0 a: = + 0 
Auch f(x) = hat die Unendlichkeitsstelle x = 0, hier aber sind 
lim fix) beide + oo. 
cc — 4~ 0 
Die Funktion /(x) == Ix hat lim f(x) = — oo, existiert aber links 
x= + 0 
von 0 nicht (als reelle Funktion). 
Die Funktion /(x) = tg x hat in x = ^ eine Unendlichkeitsstelle, 
indem lim tg x = oo, lim tg x = — oo. Mau prüfe das Verhalten 
n n 
*= 2 -° ^=2+° 
an den Stellen x = y-f wä, wo n eine (positive oder negative) ganze 
Zahl bedeutet. 
Ein eigenartiges Verhalten zeigt f(x) = tg * ; die Stellen x = ——— 
<2+ n7t 
sind Unendlichkeitspunkte und auch x = 0 ist ein Unstetigkeitspunkt, 
indem f(x) in einer beliebig engen Umgebung unendlich oft das ganze 
Gebiet der reellen Zahlen durchläuft. 
53. Stetigkeit von Punktionen mehrerer Variablen. Die 
Funktion f{x,y) der unabhängigen stetigen Variablen x, y, definiert 
für einen abgeschlossenen Bereich P mit der Randlinie C (40, 48), 
heißt an der Stelle x = a, y = h im Innern dieses Bereichs stetig, wenn 
sich zu einem beliebig kleinen positiven s ein hinreichend kleines 
positives ó' bestimmen läßt derart, daß 
I f(p,y) —/(»,&)!< 
solange \x — a | < d, \ y — h | < d, (5) 
\x — a\ + \y — d(>0