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Der Funktionsbegritf. § 2, Stetigkeit der Funktionen. 
ist; mit Worten, wenn sich zu der Stelle a h eine (quadratförmige) 
Umgebung von so kleiner Ausdehnung 2 d konstruieren läßt, daß jeder 
Funktionswert aus dieser Umgebung sich von jenem an der Stelle a b 
dem Betrage nach um weniger unterscheidet als s. 
Nach den Ausführungen in 48 ist diese Definition gleichbedeutend 
mit der Erklärung des Ansatzes 
lim f{x,y) =/(«,&). (6) 
x = a,y — b 
Befindet sich der Punkt a [ h auf der Randlinie C, so ist die Um 
gebung auf jenen Teil einzuschränken, der dem Bereiche P angehört. 
Die Funktion f(x,y) heißt stetig im Bereiche P, wenn sie den Be 
dingungen (5) in allen Punkten von P genügt. 
Verfolgt man eine in diesem Sinne stetige Punktion längs- 
einer in P verlaufenden Linie, so verhält sie sich als stetig; insbe 
sondere auch dann, wenn man sie längs einer Parallelen zu einer der 
Achsen OX, OY verfolgt. Das zu 48 beigebrachte Beispiel allein 
genügt aber, um die Umkehrbarkeit dieses Sachverhaltes auszuschließen: 
die Funktion f{[x,y) braucht an einer Stelle a i h nicht stetig zu sein, 
wenn f(x,b) als Funktion von x stetig ist bei x = a und f(a,y) stetig 
ist bei y = h. Die Funktion f(x,y) = a i n dem zitierten Bei- 
x -\~y~ 
spiel ist längs jeder durch die Stelle 0 0 gezogenen Geraden stetig,, 
weil konstant, sie ist aber nicht stetig an der genannten Stelle selbst, 
weil sie hier nicht definiert ist. 
Wichtig ist es, die gleichmäßige Stetigkeit hervorzuheben, die wie 
bei Funktionen einer Variablen eine notwendige Folge der Stetigkeit 
im abgeschlossenen Bereich ist; sie besteht darin, daß sich zu einem s 
ein ö bestimmen läßt derart, daß 
I/O",y") -Ax',y') |<c, 
solange | x" —- x \ < d, y" — y' < d, (7) 
\x" — x'\ + y" — y' >0. 
Die Definition der punktuellen Stetigkeit einer Funktion zweier 
Variablen ist wörtlich auf eine Funktion f(x v x 2 , • • • x n ) übertragbar, 
die von n Variablen abhängt; man wird sie in dem „Punkte“ cq | a 2 • • • | a n 
ihres „Definitionsbereichs“ B n stetig nennen, wenn zu einem festge 
setzten s ein hinreichend kleines d bestimmbar ist derart, daß 
I/0*1, *^2? *0 —/(«!, «2; • • • a n) 5 < £ ’ 
solange x t — a x | < d, [ x 2 — a 2 \ < d, • • • | x n — a n ' < d, (8) 
\ X i — a i + X 2 ~ a 2 ! V 1” I X n ~~ a n I ^ ^ 
ist; und stetig im Bereich B n , wenn sie diese Eigenschaft in jedem 
Punkte des Bereichs aufweist.