94 Elemente der Differentialrechnung. § 1. Der Differentialquotient usw. 
(mit bestimmten Vorzeichen) zustreben oder unbestimmt bleiben kann. In 
den drei erstgedacbten Fällen, wo ein Grenzwert (im weitesten Sinne) 
existiert, nennt man eben diesen Grenzwert den Differentialquotienten, 
die Derivierte oder die Ableitung der Funktion f(x) an der Stelle x\ 
er ist ein Maß für die Stärke der Änderung der Funktion an dieser 
Stelle. 
Dieser Grundgedanke bedarf aber noch einer genaueren Ausführung. 
Bei der Allgemeinheit, welche wir dem Funktionsbegriff unterlegen 
müssen, können selbst bei der Einschränkung, die in der geforderten 
Stetigkeit liegt, so mannigfache Erscheinungen auftreten, daß wir ge 
nötigt sind zu unterscheiden, ob h von rechts oder links sich der Null 
nähert. Existiert 
lim 
h- + o 
fix -f h) —f(x) 
h 
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so soll er als rechter Differentialquotient, und existiert 
lim 
/( = -0 
/0» + h) —f(ß) 
h 
so soll er als linker Differentialquotient an der Stelle x bezeichnet 
werden; existieren aber beide und stimmen sie miteinander überein, 
so daß man sie gemeinsam unter das Symbol 
lim fix + h ) —fix) 
h 
(2) 
stellen kann, so spricht man von einem Differentialquotienten schlecht 
weg, auch von einem vollständigen oder eigentlichen. 
Es liegt in der Natur der Sache, daß es an der Stelle a nur 
einen rechten, an der Stelle ß nur einen linken Differentialquotienten 
geben kann. 
Bei den Funktionen, welche wir hier zu betrachten haben werden, 
ist der Fall eines eigentlichen und endlichen Differentialquotienten 
typisch; die Fälle eines bloß rechten oder bloß linken, beiderseits ver 
schiedener, eines unendlichen und der Nichtexistenz eines Differential 
quotienten bilden Ausnahmen. 
Wenn daher in der Folge von der Existenz eines Differential 
quotienten oder von der Differenzierbarkeit einer Funktion an einer 
(inneren) Stelle x wird gesprochen werden, so soll darunter immer 
ein endlicher Differentialquotient von der Bildungsweise (2) gemeint 
sein. Mit diesen Festsetzungen kann man sagen: 
Der Differentialquotient einer Funktion f(x) an einer Stelle x ist 
der Grenzwert, gegen den der an dieser Stelle gebildete Differenzen- 
quotient konvergiert, wenn die Änderung h der Variablen, sei es durch 
positive, sei es durch negative Werte, der Grenze Null sich nähert. 
Es ist oben bemerkt worden, daß der Differentialquotient ein 
Maß für die Stärke der Änderung der Funktion an der betreffenden