Differentialquotient und abgeleitete Funktion.
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Stelle sei. Wie jedes Maß erfordert auch dieses eine Einheit5 diese
ist in der Stärke der Änderung der Variablen selbst gegeben. Ist
nämlich f{x) = x, so ist der Differenzenquotient x ^, also auch
der Differentialquotieut, und zwar an jeder Stelle, = 1. An einer
Stelle also, an welcher der Differenzenquotient größer (kleiner) ist
als 1, ändert sich die Funktion stärker (schwächer) als die Variable*
dabei kommt zunächst nur der absolute Wert des Differentialquotienten
in Betracht.
55. Die abgeleitete Punktion. Partielle Differential-
quotienten. Besitzt die Funktion f{x) an jeder Stelle des Inter
valls (a, ß) einen Differentialquotienten, so heißt sie in diesem Inter
vall differenzierbar. Die Werte des Differentialquotienten mit den zu
gehörigen Stellen konstituieren dann eine neue Funktion von x, die
man als abgeleitete, derivierte Funktion, auch kurz als Ableitung von
fix), aber auch als den Differentialquotienten von /(cd) benennt; zu
ihrer Bezeichnung bedient man sich der Symbole 1 )
VST’ /'(»).
dx’
У, D x y
Die analytische Bedeutung der neuen Funktion ist also durch
den Ansatz
*icr-/'(*) -JVW - (3>
gegeben, der Grenzübergang bei unbestimmt gelassenem x ausgeführt.
Im allgemeinen gehören zu verschiedenen Werten von x auch
verschiedene Werte von_/'(V)| nur hei einer einzigen Funktion, näm
lich bei der rationalen ganzen Funktion ersten Grades, die man kurz
weg als lineare Funktion bezeichnet, ist /'(cd) konstant. Ist nämlich
/{cd) = ax + b, so ist der Differenzenquotient
folglich auch
a{x -\- h) -ff Ъ — (ax -f- b) _
/7
D/ax + b) = a;
das geometrische Bild dieser Funktion — eine Gerade — spricht es
ganz deutlich aus, daß die Stärke der Änderung überall die gleiche ist.
Setzt man in der letzten Formel a = 0, so geht sie über in
D x b = 0 (4)
1) Die drei Bezeichnungen stammen der Reihe nach von G. W. Leibniz
(in einem Manuskript von 1676), J. J. Lagrange (Théorie des fonctions analy
tiques, 1797) und Arbogast (Calcul des Dérivations, 1800).
