106 Elemente der Differentialrechnung. §2. Allgemeine Sätze über Differentiation. 
wodurch die Giltigkeit der Regel (8) auch für ganze negative Exponen 
ten erwiesen ist. 
62. Ableitungen inverser Funktionen. Ist {A, B) das Wert 
gebiet einer in dem Intervall a x <1 ß monotonen stetigen Funktion 
y = f{x), so gehört zu jedem Werte y aus (Ä, JB) ein und nur ein 
Wert x aus (a, ß), so daß zugleich x als Funktion von y bestimmt 
ist: X = <p{y), und zwar ebenfalls als monotone stetige Funktion. 
Wie schon in 43, 2. erklärt worden, heißen derart bestimmte Funk 
tionen inverse Funktionen; nun soll die einfache Beziehung aufgezeigt 
werden, die zwischen ihren Ableitungen besteht. 
Sind nämlich x, y und ebenso x ß- Ax, y -j- Ay zusammen 
gehörige Werte, so ist ~ der Differenzenquotient von f{x), ^ 
der Differenzenquotient von (p{y), beide Differenzenquotienten stehen 
im Verhältnis der Reziprozität zueinander und bleiben es, wie klein 
auch /Ix und Ay werden mögen; folglich sind auch ihre Grenz 
werte, falls solche vorhanden und bestimmte von Null verschiedene 
Werte sind, also die Differentialquotienten von f{x) und qp(j/), rezi 
prok, d. h. 
D x /{x)D y <p{y)~\. (12) 
Die Anleitungen zweien' inversen Funktionen sind also für jedes Paar 
zusammengehöriger Werte der Variablen x, y reziprok. 
Konvergiert gegen die Grenze Null, so hat gleichzeitig 
den Grenzwert oo und umgekehrt; ist also an einer Stelle D x /(x) = 0, 
so hat (pfy) an der entsprechenden Stelle eine unendliche Ableitung 
und umgekehrt. 
Die Ergebnisse erlangen anschauliche Bedeutung, wenn man 
= f{x) als Gleichung einer Kurve, Fig. 80, auffaßt; die Kurve ist 
auch durch die Gleichung x = <p(jf) dargestellt 
und der Unterschied beider Darstellungen liegt 
lediglich darin, daß das erstemal x, das zweite 
mal y als unabhängige Variable aufgefaßt wird. 
Die Ableitung D x /(x) bestimmt die trigono 
metrische Tangente des Winkels a, den die 
Tangente MT mit der positiven Richtung der 
Abszissenachse bildet, D y cp(y) die trigonome 
trische Tangente des Winkels b, den dieselbe Tan 
gente mit der positiven Richtung der Ordinatenachse einschließt, und 
da a -f- b = y, so ist tga tgft = 1; dies also ist der geometrische In 
halt der Formel (12). Wird in einem Punkte, etwa E, D/{x) — 0, 
Fig.. 30.