Ableitung inverser und zusammengesetzter Funktionen. 107 
so ist dort die Tangente parallel der Abszissenachse, also normal zur 
Ordinatenach.se, folglich Dcp (y) — oo an dieser Stelle. 
Wendet man die Formel (12) auf den Fall y — x m , x = y m an. 
wo unter m eine positive ganze Zahl, unter x m der positive reelle 
Wert von r y~x verstanden wird, und x auf positive Werte beschränkt 
bleiben muß, wenn m eine gerade Zahl bedeutet, so findet sich mit Be 
nutzung von (8): 
my m ~ 1 Dx m = 1, 
woraus 
my 
i 
und trägt man weiter in die Formel (7) /(x) 
m 
JJx = nx 
X = 
ein, so kommt 
(13) 
dadurch ist die Giltigkeit der Formel (8) auch für positive gebrochene 
Exponenten dargetan. Wird schließlich in der Formel (10) c — 1 
n 
und v — x m gesetzt, so gibt sie mit Beachtung von (13): 
Dx m = 
n , 
— X 
m 
n 
m 
(14) 
wodurch Formel (8) auch auf negative gebrochene Exponenten erweitert 
erscheint. Sie gilt also für jeden rationalen Exponenten. 
63. Ableitung zusammengesetzter Funktionen. Es sei 
u — cp{x) eine eindeutige stetige Funktion von x, y = /(u) eine 
eindeutige stetige Funktion von u, so ist mittelbar y auch eine ein 
deutige stetige Funktion von x:y= f[<p(x)]- : man nennt in solchem 
Falle y eine zusammengesetzte Funktion von x oder auch eine Funk 
tion von einer Funktion von x. 
Ein bestimmter Wert von x hat einen bestimmten Wert von u 
und dieser einen bestimmten Wert von y zur Folge, und besitzt cp(x) 
an der Stelle x und f{u) an der Stelle u eine Ableitung, so hat auch 
./I < 3 D ( a ')] an ^ er Stelle x eine Ableitung. Geht man nämlich von x 
zu x + zJx über, so erfahren auch u, y gewisse Änderungen z/w, zly, 
die wegen der vorausgesetzten Stetigkeit mit ¿Jx zugleich gegen Null 
konvergieren, und es ist