108 Elemente der Differentialrechnung. § 2. Allgemeine Sätze über Differentiation. 
Au 
Ax 
der Differenzen quotient von u in bezug auf x, 
4 y 
Au ” 
Ay 
Ax n 
» y » )> » 
» y » v » x 5 
zwischen diesen drei Differenzenquotienten besteht aber die Beziehung: 
Ay Ay Au 
Ax ~Au Ax 
und bleibt in Geltung, wie klein auch Alx werden möge; somit be- 
steht auch zwischen den Grenzwerten die Relation; 
D x y=B u yI> x u. 
(15) 
Wäre v = i\j{x), u = (p(v), y = f{u), y also durch zweifache Ver 
mittlung eine Funktion von x, so ergäbe sich durch ähnliche Schlüsse 
(16) 
Um also eine Variable y, die durch mehrfache eindeutige Vermittlung 
von u, v, w, ■ • • z mit der Variablen x zusammenhängt, nach dieser 
letzteren zu differenzieren, bilde man der Beihe nach die Ableitungen von 
y nach u, von u nach v, von v nach w, • • • schließlich von z nach x 7 
die sämtlich als vorhanden vorausgesetzt werden; dann ist die Ableitung 
von y nach x gleich dem Produkte aller dieser Ableitungen. 
Die Formel (7) erweist sich als ein besonderer Fall der Formel 
(15), wenn man hier u = f{x), y = u n setzt. 
Nimmt man in (15) u = ax + b, y — u n , wo n nun jede rationale 
Zahl bedeuten kann, so ergibt sich; 
J){ax -f b) n = na(ax + b) n ~ x . 
§ 3. Differentiation der elementaren Funktionen. 
64. Die Potenz. Im Verlaufe des letzten Paragraphen wurde 
für die Differentiation der Potenz y — x n die für jeden rationalen 
Exponenten gütige Formel: 
(i) 
I)x n = nx n ~ r 
abgeleitet. Bei negativem n ist der Wert x — 0 als Unstetigkeits 
punkt auszuschließen. 
Diese Formel in Verbindung mit den Sätzen des vorigen Para 
graphen setzt uns in den Stand, alle expliziten algebraischen Funk 
tionen zu differenzieren. 
1. Für die ganze Funktion 
y = a Q x n -\- a x x n ~ r H 1- a n _ x x + a n 
hat man unmittelbar (59, (1), (2); 60, (5)) 
JDy = wa 0 æ n_1 -f (n — 1 )a x x n ~ 2 + • • • + a n _ x ;