Differentiation des Logarithmus und der Exponentialfunktion. Hl 
folglich 
Hat man weiter den Differentialquotienten von 
zu bilden, einer Funktion, welche für alle Werte von x mit Ausschluß 
von —1 und 1 definiert ist, so setze man u - - x , v = Vu: als- 
’ 1 — er. 7 
1 — X 
dann ist 
mithin 
Sind y 1} y 2) • • • y n Funktionen von x, deren keine an der be 
trachteten Stelle x Null ist, so ist auch y — y ± y% • • • y n nicht Null und 
ly — tyi + ^2 + * ’ ' + ly n 5 
durch Differentiation dieser Gleichung ergibt sich 
die rechte Seite wird die logarithmische Ableitung des Produkts y ge 
nannt; ihre Multiplikation mit y führt zum Differentialquotienten des 
Produkts selbst (60, (6)). 
66. Die Exponentialfunktion. Die in 39, II, 5. entwickelte 
Definition der Exponentialfunktion y = a x setzt a > 0 voraus; aus 
ihr folgt durch Umkehrung £ = log a y. Dem Satze in 62 zufolge 
ist also 
D x a x D y \og a y = 1 
und mit Benutzung von (2*) folgt daraus 
Da x = a x la. 
(4) 
Insbesondere hat man für die Exponentialfunktion y = e?, die 
in 47 unter dem Namen der natürlichen Potenz eingeführt worden ist, 
De x = e T . 
(5) 
Die natürliche Potenz ist die einzige Funktion, die sich heim Differen 
zieren unverändert reproduziert. 
Ist der Exponent einer Exponentialfunktion eine explizite alge 
braische Funktion von x, so kann die Differentiation auf Grund des 
i 
Satzes 63 ausgeführt werden. Ist z_ B. y = e x a , so gilt bei Aus-