116 Elemente der Differentialrechnung. § 3. Differentiation der elem. Funktionen. 
Die geometrische Bedeutung der Hyperbelfunktionen ergibt sich 
aus folgender Betrachtung. Der Kreis in Fig. 31 sei um 0 mit dem 
Radius 1 beschrieben. Ist ß das Bogenmaß des Winkels AOM, BS 
die in M an den Kreis gelegte Tangente, so hat man: 
OP = cos 6, OB = secß 
MP=smß, OS = cosec 0 
MB - tg ß, MS = cotg ß. 
Wird nun BH senkrecht zu ÖX und gleich MB gemacht, so ist 
der Ort des so bestimmten Punktes H eine gleichseitige Hyperbel, die 
A zu einem ihrer Scheitel hat; be 
zeichnet man nämlich 'die Koordinaten 
von H mit x, y, so ist 
x = sec ß, y = tg ß, 
folglich 
Vergleicht man diese Gleichung mit 
cosh 2 zi — sinh 2 t£ = 1, 
so folgt, daß 
X 
cosh«. = OB, 
sinh u = HB 
Fig. 31. 
gesetzt werden kann. 
Man überzeugt sich ferner, daß der Halbmesser OH der Hyperbel 
auf der Tangente in A eine mit MP gleiche Strecke abschneidet und 
daß die Tangente der Hyperbel im Punkte H durch P geht; denn 
es ist 
= ^ , woraus A V = sin ß = JfP; 
weiter ist der Richtungskoeffizient der Tangente (56, 2): 
aber auch 
x — cos0 sec0 — cos0 sin 6 ’ 
so daß tatsächlich PH die Tangente ist. 
Auf Grund dieser Ergebnisse erkennt man, daß, ganz entsprechend 
den Kreisfunktionen: 
OB — cosh« OP = secliz« 
HB = sinh u OT = cosech u 
HP = tgh u HT = cotgh u. 
Die Analogie erstreckt sich selbst auf die Bedeutung der Argu 
mente: die trigonometrischen Funktionen können, da * ß die Fläche 
des Sektors OAM ist, auch als Funktionen des Doppelten dieses Sektors