Vorzeichen des Differentialquotienten.
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und da beide Differenzenquotienten mit lim/i = 0 nach Voraussetzung
einer und derselben Grenze /'(x) zustreben, so kann diese nicht
negativ sein, da beide Brüche, wie klein auch Ji wird, positiv bleiben.
Die Funktion f{x) heißt in der Umgebung der Stelle x ab
nehmend, wenn sich ein positives d bestimmen läßt derart, daß
/0 - Ä)> /0) > /0 + h) (2)
für alle 0 < Ji < ö. In diesem Falle kann der Differentialquotient
an der Stelle x, wenn er existiert, nicht positiv sein; denn aus (2)
folgt:
f{x — h) —fix) ^ A f(x + h) —f(x) ^ A
— h ^ ’ h ^ ’
es kann daher f’{x) als gemeinschaftliche Grenze beider Brüche nicht
positiv sein.
An den Stellen a, ß kann nur von einem rechts-, bzw. links
seitigen Wachsen oder Abnekmen die Rede sein.
Aus den vorstehenden Erwägungen geht der Satz hervor: Wenn
die FnnJdion f{x) in dem Intervall {a, ß) beständig, d. lei. in der Um
gebung jeder Stelle, 'wachst oder abnimmt und überall einen JDifferential-
quotienten besitzt, so kann dieser niemals negativ, bzw. niemals positiv sein.
In beiden Fällen ist also nicht ausgeschlossen, daß der Differential
quotient an einzelnen Stellen Null werden kann.
Unter den elementaren Funktionen haben wir folgende Beispiele
beständig wachsender und beständig abnehmender Funktionen.
Es ist Da x = a x la, folglich of beständig wachsend, wenn a > 1,
hingegen beständig abnehmend, wenn 0<a<l ist; cf ist also
wachsend.
Aus Dl x =[-~ erkennt man, da x > 0, daß Ix eine wachsende
Funktion ist.
Da D igx — sec 2 #, so ist tg x eine wachsende Funktion; in der
Tat, indem x nacheinander die nicht abgeschlossenen Intervalle
(— y, )durchläuft, geht tgx beidemal durch das Inter
vall (— oo, oo).
In gleicher Weise schließt man aus JD cotga: =— cosec 2 # auf
beständige Abnahme von cotg#.
WeilD arctga; = —^so wächst arctgx fortwährend; tatsächlich
durchläuft es das Intervall , während x von — oo bis + oo
wachst.
Aus D arccotg £ = — ——^ schließt man in ähnlicher Weise auf
die ständige Abnahme von arccotg#.
