122 Elem. der Differentialrechn. §4. Sätze üb. d. Zusammen!!, einer Funktion usw. 
Man kann — und ist dazu unter Umständen genötigt — in Be 
zug auf Zu- und Abnahme zwischen rechts- und linksseitiger Um 
gebung unterscheiden. So sind die Funktionen f(x) — x — \x\ (52, 2.) 
und f{x) = x [^] (57, 4.) rechts von jeder Stelle wachsend, sie sind 
es aber nicht in der Umgehung jeder Stelle, wegen der Unstetigkeits 
punkte, daher auch nicht in einem Intervall, das einen oder mehrere 
Unstetigkeitspunkte enthält. 
Wenn eine Funktion an einer Stelle trotz ihrer Stetigkeit da 
selbst keine Ableitung besitzt, so kann auch nichts über Wachstum 
oder Abnahme ausgesagt, daher auch keine geometrische Darstellung 
in der nächsten Umgebung gegeben werden. Dies trifft beispielsweise 
bei der schon wiederholt angeführten Funktion 
fix) = x sin ~ für x 4= 0, _/(0) = 0 
an der Stelle x = Ozu; in der Tat läßt sich keine noch so enge Um 
gebung dieser Stelle abgrenzen, innerhalb deren alle f{x) größer oder 
kleiner als Null wären. 
72. Der Satz von Bolle. Wenn die Funktion fix) in dem 
abgeschlossenen Intervall a < x <ß stetig ist und an jeder Stelle im 
Innern einen endlichen oder bestimmt unendlichen Differentialguotienten 
besitzt, ivenn ferner /{ei) = 0 und /{ß) = 0, so gilt es wenigstens eine 
Stelle zwischen a und ß, an der f (x) verschwindet. 
Behielte die Funktion den Wert Null im ganzen Intervall (oder 
auch nur in einem Teile desselben) bei, so wäre sie eine konstante 
Funktion und hätte als solche überall die Ableitung Null (55); der 
Satz bedürfte dann keines Beweises. 
Diesen Fall ausgeschlossen, wird die Funktion von cc an entweder 
wachsen oder abnehmen — wir nehmen das erstere an; das Wachsen 
kann aber nicht durch das ganze Intervall anhalten, soll f{ß) = 0 
werden, daher muß man zu einer Stelle | kommen, an der das Wachsen 
aufhört und das Abnehmen beginnt; diese Stelle ist dadurch gekenn 
zeichnet, daß sich ein positives d bestimmen läßt derart, daß 
/«-Ä)</(e>/« + Ä) 
für alle 0 <Ä<d; zufolge der Beziehungen (1), (2) ist die Funktion 
an dieser Stelle weder wachsend noch abnehmend; ferner ist 
M-h)-m ^ n /(I+ &)-/(§) w>. 
— h ^ ’ h ^ ’ 
der erste Quotient kann mit lim h = 0 nur einer positiven oder der 
Grenze Null zustreben, der zweite nur einer negativen oder der Grenze 
Null; da aber beide Quotienten nach Voraussetzung einen gemein 
schaftlichen Grenzwert haben, so muß notwendig