124 Elem. der Differentialrechn. § 4. Sätze üb. d. Zusammenh. einer Funktion usw.
Der Satz kann auf irgend zwei Stellen x und x + h aus (a, ß)
zur Anwendung gebracht werden; £ bedeutet dann einen zwischen x
und x + h liegenden Wert und ein solcher kann in der Form x -f 6h
dargestellt werden, wenn 0 < 6 < 1 ist; mithin gilt:
oder
f{x -f h) —f{x)
h
= /'{x + 6h)
fix + h) — fix) = h/'(x + 6 h). (4)
Die Darstellung einer endlichen Differenz der Funktion durch
einen Zwischen- oder Mittelwert ihres Differentialquotienten findet sehr
häufige Anwendung; einige wichtige Folgerungen
sollen schon hier angeführt werden.
Vorher möge noch der geometrische Sinn
der Formel (3) erwähnt werden für den Fall, daß
man die Werte von f{x) durch die Ordinaten
einer Kurve AB, Fig. 33, darstellt; hat diese
Kurve in jedem Punkte eine einzige bestimmte
Tangente (die an einzelnen Stellen auch parallel
zu 07 sein kann), so gibt es zwischen A und B
mindestens einen Punkt M, in welchem die Tangente M T der Sehne AB
parallel ist.
Um zu zeigen, daß der Mittelwertsatz versagt, wenn die Funktion
nicht alle bei seiner Ableitung gemachten Voraussetzungen erfüllt,
sei das folgende Beispiel durch geführt 1 ). Ist fix)
dagegen /{0) = 0, so gibt die Formel (3):
für =j= 0,
1 1 ( o \ 1
~ß CC T 2 ’
woraus £ 2 = aß’ dies aber ist nicht möglich, wenn das Intervall (a, ß)
die Null enthält, weil dann a, ß entgegengesetzt bezeichnet sind. Auch
wenn die Null den Anfang des Intervalls bildet, kommt man zu einem
Widerspruch, weil dann
und somit | 2 = — ß 2 sein müßte. Der Grund dieser Erscheinungen
liegt in der Nichtexistenz von /'(x) bei x = 0,
An einer früheren Stelle (55) ist gefunden worden, daß der
Differentialquotient einer konstanten Funktion Null ist; nun kann
auch die Umkehrung des Satzes bewiesen werden, nämlich: Wenn die
Ableitung fix) einer Funktion f(x) an allen Stellen des Intervalls
(a. ß) Null ist, so ist die Funktion in diesem Intervall konstant.
1) E. Cesäro, Lehrb. d. algebr. Anal., nsw., deutsch von Gr. Kowalewski, p. 233.
