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Bedeutung der Konstanz von dx. Die Form . 
(entgegengesetzten) Translation, die beliebig nahe an die ursprünglichen 
Lagen heranführt. 
Dies ist der tiefere Sinn der Ausdrucksweise, das Differential 
der unabhängigen Variablen werde als konstant, als unabhängig von 
der Variablen selbst, vorausgesetzt. Zugleich geht aus der vorstehen 
den Betrachtung die große Tragweite dieser Voraussetzung hervor: 
sie führt zu der einfachsten Differentialrechnung in den Differentialen. 1 ) 
V. Abschnitt. 
Anwendungen der Differentialqnotienten. 
§ 1. Unbestimmte Formen. 
79. Die Form ^ ■ Wenn eine Funktion /(x) in einem Inter 
vall («, ß) eindeutig definiert und stetig ist mit Ausnahme einer 
einzigen Stelle x = a, die innerhalb (cc, ß) liegt oder mit der einen 
Grenze züsammenfällt, so stellt sich die Aufgabe ein, das Verhalten 
der Funktion in der Umgebung dieser kritischen Stelle zu unter 
suchen. Diese Aufgabe erhält einen bestimmten Ausdruck in der 
Forderung, den Grenzwert von /(x) zu bestimmen für einen näher 
bezeiebneten Grenzübergang Yrmx = a. 
Das Versagen der Definition äußert sich in dem Auftreten einer 
sogenannten unbestimmten Form und nach dieser richtet sich der ein 
zuschlagende Weg. Welches diese Form auch sei, so bezeichnet man 
den Grenzwert limf{x), falls er existiert, als einen uneigentlichen 
x = a 
Funktionswert, wohl auch, nicht gerade zutreffend, als den wahren 
Wert der unbestimmten Form, und ergänzt die an der Stelle x = a 
unterbrochene Definition der Funktion dadurch, daß man diesen Grenz 
wert als ihren Wert an dieser Stelle festsetzt, also 
/0) = lim/i» (1) 
x — a 
annimmt; dies tut man auch dann, wenn der gedachte Grenzwert oo 
oder — oo ist. Die Ergänzung geschieht also, falls der Grenzwert aus 
dem beiderseitigen Grenzübergange lim x — a hervorgeht und endlich 
ist, nach dem Grundsätze, daß die im Intervall mit Ausschluß von 
x = a herrschende Stetigkeit auch hier fortbestehe. Bei x = cc, bzw. 
x — ß kann nur ein rechter, bzw. linker Grenzübergang in Betracht 
kommen. 
1) Ygl. hierzu E. Cesäro, Lehrt», d. algebr. Analysis usw.; deutsch von 
G. Kowalewski, p. 493.