136 Anwendungen der Differentialquotienten. § 1. Unbestimmte Formen. 
Unter den unbestimmten Formen ist eine, auf die man die übrigen 
zurückführt-, sie hat folgende Entstehung: 
Es sei /{x) = eine gebrochene Funktion mit stetigem Zähler 
und Nenner, die beide bei dem Grenzübergange lim x = a gegen Null 
konvergieren, so daß man wegen der Stetigkeit auch <p{a) = 0, ^(a) = 0 
zu setzen hat. Man sagt dann, die Funktion nehme an der Stelle a 
die Form ^ an. 
Da (p{x) und il>(x) bei dem Grenzübergange gleichzeitig unend 
lich klein werden, so hängt der Grenzwert von der Ordnung des 
Unendlichkleinwerdens jeder einzelnen ab (49). Läßt sich hierüber 
auf irgend welche Weise ein Aufschluß erlangen, so ist die ganze Frage 
entschieden. Ein einfaches Beispiel dieser Art bietet die Funktion 
/(x) 
die an der Stelle x = a die Form / annimmt. Sind m, n zunächst 
natürliche Zahlen, so läßt sich vom Zähler wie vom Nenner der 
Faktor x — a abspalten, der allein das Verschwinden beider bei x = a 
zur Folge hat; Zähler und Nenner werden unendlich klein von der 
selben Ordnung wie x — a, daher ist 
/(«) = lim/Or) = 
x — a 
ax m ~ 2 + \- a"- 1 
Lx n - 1 +ax n ~ 2 -{ h a n ~\ 
Den Fall, daß w, n positive gebrochene Zahlen seien, die man immer 
als gleichnamig voraussetzen kann, also etwa m — , n = ~, führt 
i i 
man durch die Substitution x a = y, a° = a auf den früheren zurück 
und erhält schließlich dasselbe Resultat. 
Ein anderes wichtiges Beispiel solch direkter Erledigung bildet 
die Funktion 
/0*0 = 
a 0 x m + a lX m +1 + • • • + a k x m + i 
b 0 x ” “b +1 ff - ■ ■ ■ ff - L 1 *” +1 
{m, n ganze Zahlen) 
an der Stelle x — 0. Vom Zähler läßt sich der Faktor x m , vom 
Nenner der Faktor x n abtrennen; Zähler und Nenner werden somit 
unendlich klein von der Ordnung m, n bzw., sofern x als Größe 
erster Ordnung gilt; man hat daher 
/(0) = lim /{x) = |S 
.r = 0 u 0 
= 0, 
wenn m = n\ 
r> 
= OQ 
r> 
w > w ; 
m < n ;