Die Form 
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im letzten Falle richtet sich das Vorzeichen von oo nach dein Vor 
zeichen von und darnach, ob n — m gerad oder ungerad ist; hei 
geradem n — m erhält oo das Vorzeichen von bei ungeradem 
n — m rechts von Null das gleiche, links von Null das entgegen 
gesetzte Zeichen wie 
Zu einem allgemeinen Verfahren der Grenzwertbestimmung von 
Quotienten der eben betrachteten Art führt der folgende Satz: 
Ist lim ep(x) = 0 und lim ip{x) = 0 hei lim« == a, besitzen ferner 
die als stetig vorausgesetzten Funktionen in einer (übrigens beliebig 
engen) Umgebung von a (ev. mit Ausschluß dieser Stelle selbst) eigentliche 
Differentialquotienten, und konvergiert gegen eine Grenze, so ist 
lim S&1 _ lim ■ 
dabei wird weiter vorausgesetzt, daß ip' (x) in jener Umgebung nirgends 
verschwindet. 
Wegen der Stetigkeit ist epici) = 0, xp(a) = 0, daher kann 
auch in der Form j geschrieben werden; wendet man hier 
auf den erweiterten Mittelwertsatz (74) an, dessen Voraussetzungen 
nach obigem erfüllt sind, so ergibt sich, daß 
(p (x) — cp (g) __ <p'(|S) 
ip(x) — ip(a) 'ip'(è) 
ist, w r obei i* eine zwischen x und a liegende Zahl bedeutet; mit x 
konvergiert also auch £ gegen a, mithin ist tatsächlich 
(2) 
lim = lim ^ ^ 
Existieren, wie dies in der Regel der Fall sein wird, 9/(«), ep'(x) 
auch an der Stelle x — a und ist überdies xp'{a) =j= 0, so hat man auch 
lim (3)‘) 
a«X®) V (fl) 
Die Formel (2) versagt, wenn gleichzeitig lim9/(a) = 0, lim ?//(«) = 0. 
<p'(x) 
Dann aber befindet man sich mit dem Bruche 
ip'(x) 
in der gleichen 
Lage wie mit dem ursprünglichen, und sind auch die übrigen Be 
dingungen des Satzes erfüllt, so gilt wiederum lim 
daher auch 
0*0 
*FO*0 
= lim 
cp"(x) 
1p" (x) 
*=X«0 x = a^ 0*0 
(4) 
1) Die in diesem Ansätze enthaltene Eegel hat Johann Bernoulli zuerst 
gefunden. Acta erudit. 1704.